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por Flawyo » Ter Mai 13, 2014 13:58
Olá,
Por gentileza, estou tentando entender como encontrar onde haverá valor máximo em determinados intervalos de funções cúbicas.
O exercício é o seguinte:
Encontre o valor máximo de x^3 -3x,no intervalo -a?x?a, (a>0).
Para este exercício primeiramente eu derivei a equação acima,
Logo f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)
Percebi que quando x = -1 e y = 2, a função é crescente. E quando x = 1 e y = -2, a função é decrescente.
Se o a>0,
Então, as condições são:
i) Quando 0<a<1
o valor máximo é f(-a) = -a^3 + 3a
ii) Quando 1?x?2
o valor máximo é f(2) = 2
iii) Quando a>2
o valor máximo é f(a) = a^3 - 3a
Esta foi a minha resolução. Porém, no gabarito desta questão, precisamente na condição (ii), o valor máximo é f(-1) = 2 e não F(2) = 2, como coloquei. Eu discordei do gabarito, por que entendo que se o a>0, f(-1) não serviria, mesmo que f(-1) seja igual como se nota à f(2).
Gostaria que vocês avaliassem e me dissessem se concordam com a minha resolução ou com a do gabarito. E claro, caso descordem da minha, o por que discordam. Se puderem me indicar videoaulas que possam me ajudar também, ficaria extremamente agradecido, pois, não encontrei nada em minhas pesquisas tanto em material escrito quanto em vídeo. O que encontrei foram resoluções com o valor do domínio definido em números, nada como esta questão.
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por e8group » Ter Mai 13, 2014 15:37
Flávio de S. Rodrigues , minhas humildes desculpas . Hoje mais atento ,percebi que você disse máximo (=máximo global) [e não local] e o intervalo a ser considerado é limitado e não ilimitado .Deveria ter lido seu post com mais atenção .
Fazendo o estudo do sinal de
, concluímos que
a)
sempre que
( o que significa que a função f é decrescente(= monótona não-crescente) [def . vide :
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] no intervalo fechado )
b)
sempre que
( o que significa que a função f é estritamente crescente [def . vide :
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] na reunião dos intervalos abertos )
(1) Se
, segue
. De (a) , resulta que
.
(2) se
. Podemos reescrever o intervalo
como
.
. (Neste intervalo a função não é estritamente crescente , mas é crescente ) . Segue
.
2.1)
então de (b) resulta
.
Quem é maior
? Vamos determinar
.
Verificamos que
, como
é crescente em
resulta que
.
2.2) Se
então
2.3) Se
, então ,
i) Boas aulas de cálculo em português : Recomendo
http://www.youtube.com/user/LCMAquinoii)Bom livro de cálculo em Português (Inglês ): Recomendo
http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/texto ... -livro.pdf (Calculus spivak
https://ia601606.us.archive.org/22/item ... lculus.pdf )
Editado pela última vez por
e8group em Qui Mai 15, 2014 02:11, em um total de 2 vezes.
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por Flawyo » Ter Mai 13, 2014 23:33
Obrigado, pela gentileza de responder à questão. Entendi que seria F(-1), mas infelizmente não tenho competência para entender todo o seu cálculo, ainda estou começando o estudo de limites, derivada, integral e diferenciação.
De qualquer forma, guardarei sua solução para posteriormente estudá-la.
Agradeço também a indicação do material de pesquisa. Nestes tempos em que início meus estudos sobre essas temáticas me será de grande utilidade.
Muitíssimo grato,
Flávio de S. Rodrigues.
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por Flawyo » Qui Mai 15, 2014 13:38
Obrigado por rever o tópico. Isso demonstra que é atencioso.
Deste modo que você resolveu ficou um pouco mais claro do que o outro. Mais eu continuo perdido no porque não seria F(2) ao invés de F(-1), pois os valores de y são os mesmos, no entanto, me parece que os valores de y serem o mesmo é um dos critérios, mas o valor de x importa tanto quanto. Outra pessoa me disse que se eu substituir 2 em
o valor de "a" ficará negativo, e como a>0, então não poderia ser F(2). Já quando substituímos F(1) que se transforma em F(-1), pois substituindo 1 em F(-a) realmente o "a" fica positivo.
No entanto, testando essa ideia em outros exercícios ela não se mostrou válida. O material que tenho aqui, limita-se a dizer que "quando a=2, então F(-1) = F(2) = 2, logo o máximo é F(-1)".
Sinceramente eu fico boiando. (Risos)
Mais vez obrigado por ser esforço e dedicação,
Flávio de S. Rodrigues.
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por e8group » Sex Mai 16, 2014 11:50
Bom dia Flávio de S. Rodrigues. Por favor veja novamente o tópico , observe que para cada
fixado , podemos escrever o intervalo
. Por que fazer isso ? Justificativa está em (a) e (b) .
Queremos saber qual o maior valor possível que a aplicação
avaliada em
fixo em
assume .
(** Notação
e o maior número deste conjunto é denotado por
)
Exemplo
.
Note que
e
.
Claramente
e
De
e
resulta
.
Em geral se
possui máximo , digamos,
para
, então
(Informações sobre máximo , mínimo , supremo , ínfimo (
http://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_%C3%ADnfimo)
Voltando a função dada,
Como **
. Então ,
**
. Usando (a) e (b) concluímos que
,
e
.
Desta forma **
.
Ora, se
, nos temos que os números
e
são iguais e
. Agora se
,
. Ao invés de uma condição a mais que é desnecessária , podemos simplesmente dizer que para
temos
(e não
pq?) .
Por outro lado se
, então
, pois ,
, mas
.
Espero que fique claro .Caso contrário só dizer .
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por Flawyo » Seg Mai 19, 2014 12:15
Olá Santhiago,
Bom é como te disse meu conhecimento por ora limita-se a derivar funções, integrá-las ou diferenciá-las. Também, conheço as funções: exponencial, logarítmica, fracionária, irracional, quadrática e de grau superior. Mas, eu não tenho conhecimento de análises envolvendo infinitos. Então é difícil para mim entender o que você propõe nos itens a e b. É certo que eu conheço análises envolvendo funções monótonas, mas não essa análise que você fez e olhando a Wikipédia eu fiquei mais perdido ainda.
Eu estou cursando matemática no Kumon, estou terminando o estágio L. E lá, eles simplificam muito o conteúdo ensinado. É uma vantagem, pois, você aprende a pensar a matemática da forma mais simples possível, no entanto, há suas desvantagens, afinal, pouco nos habituamos a fazer análises usando uma simbologia como você tem usado.
Somente no Estágio O eu verei análises envolvendo infinitos, embora toda a base venha dos Estágios M e N.
Então, até para fazer uma pergunta para você fica complicado. Eu não tenho o entendimento para lhe entender ou discutir com você.
Logo, talvez seja um esforço frustrante para você descer onde eu estou neste momento. Por isso, considero que mais a frente, nos meses que seguem eu possa alcançar você e retomarmos esse entendimento com mais equidade de ambos os lados. É possível que eu inclusive entenda seu cálculo sem mesmo necessitar lhe questionar.
Então, realmente o agradeço muito pelo esforço em ajudar-me. Porque você ajudou!
Obrigado,
Flávio.
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por e8group » Seg Mai 19, 2014 22:41
Caro Flávio de S. Rodrigues , você está sendo muito modesto , também estou aprendendo , sou apenas um colaborador do fórum que gosta muito de matemática e apreciador deste mundo abstrato .
Agora falando de símbolos ...
Símbolos como
e etc , são muito uteis , o primeiro por exemplo para compactar somas , o segundo para união de vários conjuntos .E convenhamos , não sei se você pensa o mesmo , mas acho a matemática muita linda quando escrita nesta forma .
Hoje lembro do curso preparatório p/ o vestibular, na época aprendemos a calcular
determinantes de matrizes 3 por 3 e pesquisando sobre
determinantes encontrei uma fórmula chamada " leibniz formula for determinants " . Acredite ou não , me senti muito motivado a estudar matemática a cada vez que olhava aquela fórmula elegante , achava aquilo incrível ! (uma pena que do ponto de vista prático é mais rápido calcular
determinantes aplicando operações elementares a fim de triangularizar a matriz , ou mesmo utilizando decomposição LU , digo isso hoje , claro ) , mesmo não entendendo nada .
Só aprendi sobre somatórios e produtórios quando iniciei o curso na universidade .
Você mencionou sobre infinito , não se preocupe ! Ele é inimaginável por todos nós , nenhuma mente humana é capaz de imaginar ele .Acho ele fascinante , não acha ?
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por Flawyo » Qua Mai 21, 2014 14:54
Olá Santhiago,
Eu na verdade ainda tenho medo da própria matemática. Eu não tive uma boa história com meus professores de matemática.
Nos meus últimos dias de aula do 3º ano do Ensino Médio, por acaso eu acabei contando a um colega que meu sonho era estudar na USP. Esse colega contou para todos os outros, até que isso chegou ao ouvido do professor de Matemática. Estávamos na aula dele. E, ele era um dos padrinhos da nossa turma. Logo que este professor ficou sabendo, ele gritou para todos: "Então o fulano quer estudar em uma das melhores Universidades do país?". Ao dizer isso, ele começou a rir... Ele ria sem parar, e logo todos estavam rindo de mim e do meu sonho. Eu respirei fundo, porque não queria chorar na frente deles... Eu então, levantei do meu lugar e fui até a frente da sala e diante dele eu disse gaguejando: "Você ri de mim e esqueci que ri de você mesmo... Afinal, quem foi meu professor de matemática desde a Oitava Série até hoje?". Obviamente, ele parou de rir, mas respondeu dizendo que eu já estava reprovado na disciplina dele. E estaria mesmo, se a Diretora da Escola não fosse madrinha da nossa turma e tivesse entrado no meio desta história.
Minha vida se resume ao fracasso escolar nas disciplinas relacionadas a exatas. E depois desta última experiência, eu chorei durante vários dias, porque eu sabia que por mais que meu Professor tivesse cometido um erro, ele tinha razão, eu não tinha conhecimento suficiente de exatas para disputar uma vaga na USP. E o pior eu achava que eu era culpado por isso. Achava que eu tinha algum problema mental ou neurológico. E desisti da USP, desisti de medicina, porque achava que não daria conta.
Fui me dedicar ao que muito sabia, eu era bom entendedor da filosofia, da biologia, da poesia. Desde cedo eu ganhei concursos de redação. Logo, me decidi pela psicologia, um curso relacionado com o que eu gostava e nada de matemática, pensava eu. Para meu espanto, no primeiro semestre eu me deparei com a estatística aplicada à psicologia e sem saber nada de matemática eu só queria fazer pesquisas tendo como arcabouço a estatística, eu ficava fascinado com números e cálculos. Supri minha deficiência aprendendo a teoria e usando programas para os cálculos. A pesquisa que resultou no meu TCC foi baseada inteiramente na estatística, em cálculos de significância.
Então, a psicologia me confrontou várias vezes com esse medo dos números e a paixão pelas letras. Me lembrei da medicina que tinha abandonado.
Um dia eu decidi ir atrás do por que eu não tinha aprendido matemática. Fui em neurologista, psicopedagogo, pedagogo etc. Ninguém soube responder. Eu era normal! Tomografia do cérebro sem lesões, não havia presença de discalculia, nada.
Sem saber para quem ou para onde ir, para resolver isso, andando no centro da minha cidade e pensando no que fazer eu me deparei com o Kumon. Mesmo desconfiado de que eu poderia não aprender nada lá, afinal, nunca tinha aprendido nada além de contar ou operar cálculos simples, eu aceitei o desafio. E entrei.
Em 2 anos eu já sabia muito mais de matemática, do que em 13 anos de vida escolar. E agora com 3 anos (isso, porque eu fique alguns meses doente) eu estou concluindo o Kumon, sabendo infinitamente mais. Não há como comparar.
Mais os fantasmas estão todos por aqui ainda. Tem dias que eu não acredito no que sei. O pessoal do Kumon diz que isso é claramente uma limitação para mim.
Enfim, minha modéstia, tem muitos significados.
Eu concordo com você sobre a beleza dos símbolos na matemática. Mas, se às vezes eu tenho medo dos números, imagina os símbolos (risos). Eu, entendo boa parte deles, mas meus bloqueios às vezes me impedem de ir adiante.
Você falando do seu encantamento com Leibniz, eu me lembrei do meu deslumbramento com Euler ao propor seus números e a fórmula da identidade. Eu não entendo aquela fórmula, mas fiquei fascinado nela e ela me motiva a continuar com a matemática, assim, como os estudos de Agnesi. Como aquela mulher conseguiu pegar os estudos de Newton e Leibniz e entendê-los a tal ponto de simplificá-los é de tirar o chapéu.
Por fim, pois, já me prolonguei demais. O infinito é algo realmente impressionante, afinal, onde quer que olhemos lá está ele, especialmente na natureza.
Então, só posso dizer a você que mesmo com os contratempos que mencionei, a matemática é sim apaixonante, principalmente porque ela é abstrata tal como as letras antes de formar uma palavra. E atualmente, penso numa forma de integrar a matemática, a psicologia e a medicina. Eu acho que encontrei, num antigo projeto que escrevi a respeito da nanotecnologia.
Uma ótima semana para você!
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por e8group » Sáb Mai 24, 2014 16:43
Caro Flávio de S. Rodrigues , acabei de ler seu post , realmente não sei o que argumentar , o tópico acabou estendendo para assuntos talvez um pouco fora da matemática por parte de ambos ,que é normal ! Parabéns pelo esforço e boa sorte nos estudos .
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por Flawyo » Ter Mai 27, 2014 14:06
Olá Santhiago,
Eu o compreendo. Realmente nos estendemos para além da matemática. Agradeço por seu incentivo e mais uma vez por me acompanhar em minha dúvida matemática.
Grato,
Flávio de S. Rodrigues.
-
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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