Ok , vamos tentar ,não vou formalizar (tenta fazer isso), respondo sem objetividade e com mais detalhes . Só mudando as notações e seguindo a mesma linha de raciocínio .
Faz-se hipótese que
, isto é ,
i)
Para todo dado ,
existe um [t]
(dependente de
) tal que se
pertence a
) então
[f avaliado em x] está no intervalo
.
OBS.1. Para estabelecer uma relação entre
e
as notações entre parêntesis são mais convenientes .
OBS.2. Excluímos o ponto
do intervalo para enfatizar que a função não necessariamente está definida em
( possa ser que
) . Mas, uma condição é necessária ,
obrigatoriamente deve está definida em
,em outras palavras
.
OBS.3. Se alguma propriedade
é verdadeira sempre que
.Se
então
. No momento certo vamos fazer menção a está observação .
ii) Da mesma forma definimos o segundo limite .
Agora queremos mostrar que
. Como em todas demostrações , rascunhamos de trás para frente . Escreva
( o mesmo para g , usando L ) e utilize desigualdade triangular para obtermos
(pois
e
.
(Observe que
para todo M, enquanto nem sempre
(possa ser que
, assim em geral não podemos definir
a menos que considerarmos 1° M = 0 e depois diferente de zero . Veremos isto a seguir )
Se dado qualquer
encontramos um
correspondente tal que cada parcela seja menor ou igual a
,então por transitividade [Se
e
então
] o resultado segue . E é isto que vamos fazer .
Para todo
dado , temos que
. Assim dá hipótese dos limites existirem , segue de (i) e (ii) que existe
para os quais
Agora defina
. Note que
e
para cada
(Pq?) .
(Por isso adotei esta notação , para notares que todas vizinhanças de
acima contém
) [Usando a notação mais comum também é fácil ver ,
e se
, por transitividade ,
](i=1,2,3,4).
Dá observação
seque-se que
então todas implicações acima são verdadeiras . Daí ,
.
Impressionante a qualidade do artigo , muito bem escrito . Porém há um erro de digitação lá que é muito comum (por isso estou aq editando meu erros de digitação ) , acredito que a intenção era escrever
ao invés de
(pq isto automaticamente implica que
e podemos ter
e
) . Observe que troquei
por
, mas acho que não atrapalhará no entendimento .