[Estimativa do Erro] Aproximação de pi por ...

por **e8group** » Sex Mai 02, 2014 14:04

Preciso limitar $D^n (arctan(t)) , t \in (1 - \delta ,1 + \delta) , \delta > 0$ para determinar

de modo que o erro da aproximação de $\pi$ por $4 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}$ seja menor que $10^{-10}$ .

Alguém tem alguma ideia ? Como obter uma expressão para D^n (arctan(t))

?

Até agora só consegui isto abaixo ...

i) Primeiro vamos garantir que D^n (arctan(t))

é limitada em $(1 - \delta ,1 + \delta) , \delta > 0$ .

Derivando arctan(t)

n-vezes , vamos obter uma expressão da forma $\frac{h(t)}{(1+t^2)^{n+1}}$ ,onde h(t)

é um polinômio $deg(h(t)) < deg((1+t^2)^{n+1})$ e portanto D^n(arctan(t))

é uma função racional e $1+t^2 \neq 0 \forall t \implies (1+t^2)^{n+1} \neq 0 , \forall t$ .Sendo assim garantimos que D^n arctan

é contínua .Em particular , ela é contínua em qualquer intervalo fechado não degenerado contendo a vizinhança de

.Logo pelo Teorema de Weierstrass , D^n arctan

é limitada neste intervalo .

Assim , $\exists k > 0 : | D^n (arctan(t))| < k , \forall t \in (1 - \delta ,1 + \delta)$

ii) Segunda parte trabalhosa, determinar

e encontrar uma cota .

Pensei assim :

Seja $I_n (t) = D^n(arctan(t)) = D^n \left(\int_0^t \frac{d\zeta }{1+ \zeta^2}\right) = \frac{1}{2i}D^n \left(\int_0^t \left[ \frac{1 }{t -i} - \frac{1 }{t +i} \right ]d \zeta \right)$

Daí , temos $I_n(t) = \frac{1}{2i}(-1)^n n! \left[ \frac{1}{(t-i)^{n+1}} - \frac{1}{(t+i)^{n+1}}\right ] = \frac{i}{2}(-1)^{n+1} \frac{n!}{(t+1)^{n+1}}\left[ (t+i)^{n+1}- (t-i)^{n+1}\right]$ e finalmente obtemos

$I_n(t) = \frac{(-1)^{n+1}n!}{2(1+t)^{n+1}} \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1-(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}$ .

Logo ,

$|I_n(t)| = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} | \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1+(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}| \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}|(1-(-1)^{m+1})i^{k+1}|t^{n+1-k} \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m} t^{n+1-k} = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot (1+t)^{n+1} = \frac{n!}{2}$ .

Portanto D^n arctan(t)

é limitada por n!/2

.

Mas esta cota não ajuda , meu objetivo era obter D^n arctan(t) < 2(n-1)!

.

iii) Encontrar

.

Sabemos que $|\pi - 4 \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} | = R_n(1) = \frac{D^{n} arctan(c_t)}{(n)!} = \frac{I_{n+1}(t)}{(n+1)!}$ (Forma Lagrange). , então

$| R_n(1) | \leq \frac{(n+1)!}{2 (n+1)!} = 1/2$ , .

Se tivéssemos demostrado que |D^n arctan(t)| <2 (n-1)!

.

$| R_n(1) | \leq \frac{2}{n}$ e com isso $| R_n(1) | \leq 10^{-10}$ sempre que $n \geq 2 \cdot 10^{10}$ que é a resposta do gabarito .

Qualquer ajuda é bem vinda .

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