Fiz esse exercício, mas não tenho o gabarito, então gostaria de confirmar minha resolução com outros membros.
(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 20 - Pág.: 920)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y=x²+z² e y=8-x²-z²
Resolução:
Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:
Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.
Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:
Mudança de Variável na Integral Tripla:
Onde: é o módulo do determinante jacobiano.
Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:
Imagine que o ângulo formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando o volume, então . Para o caso de : . A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de até . Mas, em coordenadas cilíndricas: até .
Coordenadas Cilíndricas:
Integral Tripla:
unidades de volume
Passo-a-passo:
a)
b)
c)