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[Integral Tripla (Resolvida)] Volume de Sólido

[Integral Tripla (Resolvida)] Volume de Sólido

Mensagempor raimundoocjr » Seg Dez 16, 2013 23:33

Fiz esse exercício, mas não tenho o gabarito, então gostaria de confirmar minha resolução com outros membros.


(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 20 - Pág.: 920)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelos paraboloides y=x²+z² e y=8-x²-z²


Resolução:
Calcular o volume do sólido limitado pelos paraboloides dados, é o mesmo, em termos numéricos, que calcular o volume limitado pelos seguintes paraboloides: z=x²+y² e z=8-x²-y². O valor correspondente às unidades de volume é exatamente igual. Além disso, a forma como é apresentada as equações lembra as coordenadas cilíndricas, então será feito essa substituição. Antes, é importante determinar o conjunto ao qual será feita a integração. A ideia partirá de encontrar a interseção entre as superfícies:

Se z=z, então x²+y²=8-x²-y². Implica que 2x²+2y²=8, e portanto x²+y²=2². Esta última equação representa a circunferência de centro na origem e raio valendo 2 unidades.

Porém, em termos de domínio da função, tem-se que considerar o seguinte círculo:
0\leq x^2+y^2\leq 2^2

Mudança de Variável na Integral Tripla:
\iiint_E f(x, y, z) dxdydz=\iiint_{E_{uvw}} f(\phi(u, v, w))\begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix}dudvdw

Onde: \begin{vmatrix}\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\end{vmatrix} é o módulo do determinante jacobiano.

Para o caso em específico feito por coordenadas cilíndricas:
\iiint_E dxdydz=\iiint_{E_{\theta\rho z}} \rho d\theta d\rho dz

Imagine que o ângulo \theta formado com o eixo das abscissas irá percorrer todos os ângulos para gerar o sólido que estamos calculando o volume, então 0\leq \theta \leq 2\pi. Para o caso de \rho: 0\leq \theta \leq 2. A "componente z" irá de uma superfície a outra, ou seja, de z=x^2+y^2 até z=8-x^2-y^2. Mas, em coordenadas cilíndricas: z=\rho^2 até z=8-\rho^2.

Coordenadas Cilíndricas:
\left\{\begin{matrix}x=\rho cos\theta\\ y=\rho sen\theta\\ z=z\end{matrix}\right.

Integral Tripla:
\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz d\theta d\rho=16\pi unidades de volume

Passo-a-passo:
a) \int_{\rho^2}^{8-\rho^2}\rho dz=\rho\int_{\rho^2}^{8-\rho^2} dz=\rho[(8-\rho^2)-(\rho^2)]=\rho(8-2\rho^2)=-2\rho^3+8\rho
b) \int_0^{2\pi}(-2\rho^3+8\rho)d\theta=-2\rho^3+8\rho(2\pi-0)=-4\pi\rho^3+16\pi\rho
c) \int_0^2(-4\pi\rho^3+16\pi\rho)d\rho=4\pi[-\frac{\rho^4}{4}+2\rho^2]_0^2=16\pi
Editado pela última vez por raimundoocjr em Qua Dez 18, 2013 16:15, em um total de 1 vez.
raimundoocjr
 

Re: [Integral Tripla (Resolvida)] Volume de Sólido

Mensagempor young_jedi » Ter Dez 17, 2013 19:48

analisei sua resolução e achei que esta perfeita acho que a resposta é isto mesmo!!!
young_jedi
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59