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Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor Sobreira » Sáb Nov 30, 2013 15:00

Olá amigos,

Estou tentando resolver este limite por L'Hospital mas nunca consigo eliminar a indeterminação...alguma idéia ???

\lim_{b\rightarrow\infty} \frac{{e}^{b}}{{e}^{sb}}

Se eu derivar seguidas vezes ainda não consigo eliminar a indeterminação \frac{\infty}{\infty}
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor e8group » Sáb Nov 30, 2013 15:27

Lembre-se \frac{d^k}{dx^k}(e^x) = e^x e que \frac{d^k}{dx^k} e^{\lambda \cdot x } =  \lambda^k \cdot e^{\lambda x} para qualquer natural k . Além disso note que

\frac{e^b}{e^{sb}} = e^{b-sb} = e^{b(1-s)} = (e^{1-s})^b .Tem alguma informação sobre o número s ? Se ele for menor que 1 segue que e^{1-s} > 1 ,caso contrário teremos 0 < e^{1-s} < 1 . Para concluir basta responder o que acontece com a função exponencial de base positiva e menor que 1 e com a de base maior que 1 lá no infinito .
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor Sobreira » Sáb Nov 30, 2013 15:52

Na realidade estou tentando encontrar a transformada de Laplace através da definição:

A função é f(t)={e}^{t+7}

Como posso resolver ???

\int_{0}^{\infty}{e}^{-st}f\left(t \right)dt

Depois de resolver a integral, quando considerei s>0 acabei caindo neste problema que ainda não consegui resolver. Se puder me ajudar, agradeço !!
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor Sobreira » Sáb Nov 30, 2013 16:42

Veja o que consegui até agora:

resolução.jpg


resolução 2.jpg
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor e8group » Sáb Nov 30, 2013 16:43

Ainda não estudei Transformada de Laplace ,parece que isto é uma aplicação que leva uma função a outra (me corrija se eu estou errado ) . Posso tentar te ajudar com a integral imprópria . Sendo f(t) = e^t + 7 . Temos que

\int_{0}^{\infty } e^{-st} (e^t+7)  dt  =  \int_{0}^{\infty } (e^{-st +t} + 7e^{-st})  dt = \int_{0}^{\infty } e^{(1-s)t}dt + 7 \int_{0}^{\infty }e^{-st} dt .

Agora faça as substituições simples u = (1-s )t e v = - st [/tex] as derivadas nos dá respectivamente ,

du = (1-s)dt e dv = -s dt assuma a princípio que s \neq 1 trataremos deste caso depois .Neste caso , teremos dt = \frac{du}{1-s} e dt =  \frac{dv}{-s} já que você considerou s > 0 (ou seja ,s \neq 0 )

Vamos ter que considerar primeiro 0<s < 1 e segundo s > 1 .
No primeiro caso temos que 1-s > 0 e -s < 0 e assim quando t \to \infty ,
u \to \infty e v \to -\infty , quando t = 0 teremos também u=v = 0 ,renovando os limites de integração , a nova integral se escreve

\int_{0}^{\infty} e^u \frac{du}{1-s}  +   \int_0^{-\infty} e^v  {dv}{-s} ou ainda

\frac{1}{1-s} \int_0^{\infty} e^u du  - \frac{1}{s}  \int_0^{-\infty} e^v dv  (*) .

Calculando estas integrais obterá uma função da F_1 real a qual depende da variável s que pertence (0,1) . (Isto se a integral convergir )

No segundo caso s > 1 ,então 1-s < 0 e -s < 0 e assim , quando t \to \infty teremos que u \to -\infty e v\to -\infty e como já vimos acima quando t =0 , v=u= 0 . Podemos usar a mesma expressão (*) apenas trocando os limites de integração e teremos outra função F_2 real dependendo da variável s a qual pertence (1,+\infty) , dada por

\frac{1}{1-s} \int_0^{-\infty} e^u du  - \frac{1}{s}  \int_0^{-\infty} e^v dv .

Portanto basta fazer estas contas são bem simples .

E finalmente se s = 1 .

Teremos \int_{0}^{\infty } e^{-t} (e^t+7)  dt  = \int_{0}^{\infty } (1 + 7e^{-t}) dt e esta integral não converge .

No final obterá uma função F : (0,1)\cup(1,+\infty) \mapsto \mathbb{R} dada por F(s) = \begin{cases}F_1(s) ;         1>s >0  \\ F_2(s)  ;    s > 1   \end{cases} .
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor Sobreira » Sáb Nov 30, 2013 16:59

Acho só que você viu errado a função:

A função é f\left(t \right)={e}^{-st+t+7}

E não:

f\left(t \right)={e}^{-st+t}+7
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor e8group » Sáb Nov 30, 2013 16:59

Agora que vi f(t) = e^{t+7}e não como eu tinha considerado . Neste caso é até mais fácil . Basta ver que e^{t+7} = e^7  \cdot e^t e portanto o integrando se escreve f(t)e^{-st} = e^7 e^t e^{-st} = e^7 \cdot e^{(1-s)t} .

Basta desconsiderar aquela integral multiplicada por 7 no post acima , e considerar a outra multiplicado por e ^7 .

Assim terá de calcular :

e^7 \frac{1}{1-s} \int_0^{\infty}  e^u du , 1 >s >0 e


e^7 \frac{1}{1-s} \int_0^{-\infty}  e^u du , s >1 .
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor e8group » Sáb Nov 30, 2013 17:01

Talvez ficou um pouco confuso . Se você não compreender só dizer .
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor Sobreira » Sáb Nov 30, 2013 17:21

Então...
Eu realmente tenho ficado confuso naquela parte do asterisco...pq não eh somente neste exercício....já houve alguns outros que o problema ficava naquele termo do asterisco por não conseguir eliminar a indeterminação e vejo que a resposta está logo ali do outro lado esperando o resultado deste asterisco ser zero.
Até então os exercícios que eu fiz era considerado só duas condições: s>0 ou s<0.
Agora tentando entender melhor este exercício, mandei inclusive a foto, eu consegui sair deste problema utilizando aquelas condições acima e vi que só chegaria na resposta na condição de s>1. Como você disse você ainda não viu o conteúdo de Laplace, mas sua ideia está correta.
Agora pensando somente como uma integral imprópria, pelo que resolvi você considera correta minha preposição de que s tem que ser maior que 1 ???
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Re: Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

Mensagempor e8group » Sáb Nov 30, 2013 17:37

Sim concordo com você , s será maior que 1 . Por quê a integral \int_0^{\infty} e^u du não converge (1>s>0) , já a outra \int_0^{-\infty} e^u du (s>1) converge . Você mesmo notou isto na sua solução pelo que vi . É isso .
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?