Ajuda Matemática

A reta horizontal y = c intercepta a curva y = 2x ? 3x3 no primeiro quadrante como mostra a figura. Determine c para que as areas das duas regioes sombreadas sejam iguais.
Obs.: Se quiser ver a questao com a imagem. Ela é a 10ª questão.LINK: http://www.ebah.com.br/content/ABAAABcF ... ecnica-usp

Caiu uma questao dessa parecida na prova q fiz. Chamei de X1 e X2 as intersecções entre a reta horizontal e a curva. Igualei a integral de 0 até X1 e a integral de X1 até X2, mas nao deu certo.
A função q usei nas integrais foi: a função da de cima menos a funçao de baixo.
VLW

Consideremos $\{ (x_1,c) ,(x_2,c) \} , (x_2 > x_1 > 0 )$ a interseção entre as duas curvas no primeiro quadrante . Sejam f(x) = c , g(x) =2x - 3x^3

e o retângulo $R = [x_1,x_2] \times [0,c]$ .A área do retângulo é (x_2 -x_1)c

; logo a área da região pintada de roxo será

$\int_{x_1}^{x_2} g(x) dx - (x_2 -x_1)c$ . Já a área da região pintada de verde será :

$x_1\cdot c - \int_{0}^{x_1} g(x) dx$ . Assim ,

$x_1\cdot c- \int_{0}^{x_1} g(x) dx = \int_{x_1}^{x_2} g(x) dx - (x_2 -x_1)c$ . Resolvendo as integrais e simplificando obterá $x_2^2 -x_2 c - \frac{3}{4}x_2 ^4 = 0$ ou ainda multiplicando ambos lados da igualdade por 4/x_2

,

4x_2 - 4c - 3x_2^3 = 2x_2 -4c + (2x_2 -3x_2^3) = 2x_2 -4c + g(x_2) = 0

.Como

,segue $c = \frac{2}{3}x_2$ .Agora substituindo $c = \frac{2}{3}x_2$ em g(x_2) = c

,vem :

$2x_2 -3x_2^3 = \frac{2}{3}x_2$ . Logo ,

4/9 = x_2^2

ou seja ,

. Lembrando que $c = \frac{2}{3}x_2$ segue-se que c = 4/9

.

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Calculo de área INTEGRAL

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