Ajuda Matemática

Já tentei de todas formas resolver este exercício abaixo, está me tirando o sono e a paciência. Acho que meu erro está relacionado aos limites de integração adotados.
A figura abaixo mostra três arcos de circunferência cujo centro está na origem de um sistema de coordenadas. Em cada arco a carga uniformemente distríbuida é dada em termos de Q= 2,00 $\mu$ C. Os raios são dados em termos de R=10,0 cm. Determine (a) o módulo e (b) a orientação em relação ao semi-eixo x positivo do campo elétrico na origem.

Na maioria dos exercícios relacionados a arcos de circunferência carregados, o centro de curvatura fica exatamente sobre um eixo (x ou y), mas neste caso este arco não está.

sugiro fazer a integral para cada um dos arcos e no final realizar as somas das resultantes
vamos primeiro fazer a do arco menor

temos que sendo a distribuição de cargas é uniforme e nos temos um quarto de circulo então o coeficiente de distribuição para esse primeiro caso sera

$c=\frac{Q}{\pi.R/2}$

$c=\frac{2.Q}{\pi.R}$

agora faremos a integral para encontrar o valor de E
como se trata de uma circunferência vamos utilizar a integração pelo raio e pelo ângulo, sendo que cada pedaço da circunferência gera um campo na origem com sentido

$(-cos(\theta),-sen(\theta))$

substituindo na integral teremos

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{k}{R^2}.\frac{2.Q}{\pi.R}.R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

isso resulta em

$\frac{k.2Q}{\pi.R^2}(1,-1)$

acredito que seja isso, tente fazer pra os outros dois arcos(atentando para o sinal das cargas)
ai você encontrara outros dois vetores a soma dos três vetores dará o campo elétrico, comente qualquer coisa

Bom. Desde já obrigado pela atenção. Este exercício está me deixando louco.

Eu calculei a densidade de cargas:

$\lambda=\frac{2X{10}^{-6}}{0,1570}$

$\lambda=1,2738X{10}^{-5}$

A partir deste ponto eu fiz o cálculo para cada componente do vetor (cos $\Theta$ e sen $\Theta$ )

$\frac{\lambda}{4\Pi\varepsilon r}$ $\int_{\frac{\Pi}{2}}^{\Pi}cos\theta d \theta$

Resolvendo esta integração: $sen \Pi - sen\frac{\Pi}{2} = -1$ , logo:

$\frac{1,2738X{10}^{-5}}{4\Pi X {8,85X10}^{-12}X0,1}$ = ${-1,1454X10}^{6}$

Já para a componente em y ficaria:

$-cos\Pi+cos\frac{\Pi}{2}=1$

${1,1454X10}^{6}$

Fiz os cálculos para os outros dois arcos:

Arco 2: ${-2,2909X10}^{6}$ e ${2,2909X10}^{6}$
Arco 3: ${-3,4363X10}^{6}$ e ${3,4363X10}^{6}$

Se eu somar as componentes de x e y para depois obter módulo e ângulo eu não chego no valor que é de ${1,62X10}^{6}$ e -45 graus.
O engraçado é que se eu decompor o vetor que é a resposta eu obtenho como componentes de x e y justamente ${-1,1454X10}^{6}$ e ${1,1454X10}^{6}$ que são as componentes do primeiro arco.

ola amigo na hora da integral você se esqueceu que as componentes na direção x e y são negativas

$-cos(\theta),-sen(\theta)$

substituindo na integral encontramos exatamente aqueles valores que você encontrou, proem com o sinal trocado

como relação aos outros dois arcos, acho que tem algo errado no seu calculo pois veja que as cargas deles são respectivamente 4 e 9 nove vezes maiores, porem seus raios são 2 e 3 vezes maiores, mais como tem um fator R^2 na equação ao substituir encontramos

4R^2

e

que acabam por se cancelar com o 4Q e o 9Q, ou seja o resultado obtidos para os três arcos deveria dar o mesmo resultado, mais como um dos arcos tem carga negativa então ele gerarira um campo no sentido contrario ao dos outros dois, sendo assim ele se cancelaria com o campo de um dos outros dois, e como campo resultante teríamos apenas um deles que é este vetor que você postou na resposta.

se não fui muito claro comente ai tentarei postar os cálculos passo a passou

Ok.
Então, tem algumas passagens que eu realmente não compreendi muito bem.
Primeiro a questão dos sinais do cosseno e do seno.
Falando por exemplo do primeiro arco (de carga Q): O sentido do vetor produzido por este arco na circunferência está saindo da origem (2° quadrante), logo, considerando o centro de curvatura estaria formando um ângulo de 135º em relação ao eixo positivo x.
Logo a decomposição deste vetor indicaria um cosseno negativo e um seno positivo (novamente 2° quadrante).
Mas estamos utilizando de 90° a 180°.
Particularmente nunca utilizei sinais de seno e cosseno assim para resolver os problemas, pois, como disse, a partir do ângulo de direção do vetor (ângulo formado com o eixo x positivo) eu o utilizava para determinar as componentes em x e y.
Não sei se fui claro também.
Segundo. Pelo que eu entendi então, o campo criado pela carga dois e três se anulam, pois se meus cálculos do primeiro arco estão certos...
Se possível gostaria que expusesse os cálculos.
Mais uma vez, obrigado pela atenção. Tá osso esse problema.

Ps.:Para ficar mais claro meu raciocínio a respeito de ângulo de direção do vetor:

Tranquilo amigo
vou fazer primeiro para o terceiro arco
a densidade de carga sera dada por

temos que o campo elétrico dado por um carga Q em um ponto é dado por

$\overrightarrow{E}=\frac{Q}{4.\pi.\epsilon.r^2}\overrightarrow{e_r}$

onde r é a distancia entre a carga e o ponto, e $\overrightarrow{e_r}$ é o vetor direção da carga ate o ponto
ele pode ser calculado fazendo a posição do ponto menos a posição da carga e então divide-se ele por seu modulo, no nosso caso temos a carga distribuída no arco então temos que calcular sua densidade de carga, para termos a carga em cada ponto do arco, mais a posição de cada ponto do arco é dado por

$(3R.cos(\theta),3R.sen(\theta))$

então o vetor direção sera dado por

$(0,0)-(3R.cos(\theta),3R.sen(\theta))=(-3R.cos(\theta),-3R.sen(\theta))$

este valor dividido por seu modulo que é 3R nos da o vetor direção

$\overrightarrow{e_r}=\frac{(-3R.cos(\theta),-3R.sen(\theta))}{3R}=(-cos(\theta),-sen(\theta))$

$\lambda=\frac{9Q}{\frac{2.\pi.3R}{4}}$

$\lambda=\frac{6Q}{\pi.R}$

substituindo na integral teremos

$E=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\lambda}{4.\pi.\epsilon.(3R)^2}3R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

$E=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{6Q}{\pi.R}.\frac{1}{4.\pi.\epsilon.(3R)^2}3R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

$E=\frac{Q}{2.\pi^2.\epsilon.R^2}.\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-cos(\theta),-sen(\theta))d\theta$

realizando a integral teremos

$E=\frac{Q}{2.\pi^2.\epsilon.R^2}.(1,-1)$

substituindo os valores de Q e das constantes obtemos

$E=1,1448.10^{6}(1,-1)$

$E=(1,1448.10^{6},-1,1448.10^6)$

agora para o segundo arco temos

$\lambda=\frac{-4Q}{\frac{2.\pi.2R}{4}}$

$\lambda=\frac{-4Q}{\pi.R}$

substituindo na integral teremos

$E=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\lambda}{4.\pi.\epsilon.(2R)^2}2R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

$E=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{-4Q}{\pi.R}.\frac{1}{4.\pi.\epsilon.(2R)^2}2R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

$E=\frac{-Q}{2.\pi^2.\epsilon.R^2}.\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(-cos(\theta),-sen(\theta))d\theta$

realizando a integral teremos

$E=\frac{-Q}{2.\pi^2.\epsilon.R^2}.(1,-1)$

substituindo os valores de Q e das constantes obtemos

$E=-1,1448.10^{6}(1,-1)$

$E=(-1,1448.10^{6},1,1448.10^6)$

repare que os dois vetores são quase iguais apenas os sinais de suas componentes são diferentes, portanto ao realizar a soma dos dois termos que eles se anulam
portanto o campo resultante sera apenas o do primeiro arco

onde r é a distancia entre a carga e o ponto, e $\overrightarrow{e_r}$ é o vetor direção da carga ate o ponto
ele pode ser calculado fazendo a posição do ponto menos a posição da carga e então divide-se ele por seu modulo, no nosso caso temos a carga distribuída no arco então temos que calcular sua densidade de carga, para termos a carga em cada ponto do arco, mais a posição de cada ponto do arco é dado por

$(3R.cos(\theta),3R.sen(\theta))$

Ok amigo, sua ajuda tem sido de incrível valia. Tenho tido dificuldades com este exercício mas estou aprendendo bastante.
Refiz meus cálculos e agora encontrei aqueles valores que eu também havia encontrado no primeiro arco (tinha esquecido de considerar 2R e 3R), porém todos as componentes de x estão negativas.
Não consigo compreender a questão dos sinais de seno e cosseno. Tentarei explicar:
Quando eu resolvia exercício de campos (ou forças) criados por cargas puntiformes eu simplesmente considerava que a carga sobre a qual estava incidindo o campo ou força estava no centro do eixo cartesiano e a partir disto desenhava os vetores saindo desta e por consequencia tinha os ângulos para decompor os vetores.
Só que agora eu não consigo enxergar a relação entre o ângulo que a distribuição de cargas escolhida está fazendo com o centro. Não entendo porque não consideramos este ângulo. Como eu havia dito anteriormente sempre que resolvi até então exercícios com cargas pontuais eu nunca realizei um cálculo para determinar o versor.
Como exemplo, anexei, para tentar ficar mais fácil três casos: Este exercício agora tentando relacionar o vetor resultante, carga puntiforme e um com um arco de 120° que neste caso eu vi de forma clara o ângulo formado com o centro e entendi como resolver.
Desculpe se estou insistente, mas está realmente difícil de compreender esta questão do seno e cosseno e direção, porque até então nunca tinha realizado assim.

Ou seja, para resumir não estou entendendo a questão do vetor de direção (No meu entendimento já que ele é (0,0) menos a posição, sempre o seno e cosseno ficarão negativos ???). Como até então não havia utilizado este vetor para resolver, agora estou com dificuldades.

tranquilo sobreira, vou tentar explicar da maneira que eu entendo

pense em uma carga Q situada na origem, e imagine um ponto P com coordenadas (P_1,P_2)

ela vai gerar um campo elétrico resultante que tem como direção o vetor

$\left(\frac{P_1}{\sqrt{P_1^2+P_2^2}},\frac{P_2}{\sqrt{P_1^2+P_2^2}}\right)$

repare que este é o vetor direção do ponto onde se quer calcular o campo, repare que suas coordenadas foram divididas por seu modulo para termos um vetor unitário.

mais isto é possível pois a carga esta na origem, agora imagine a carga em um ponto (A_1,A_2)

, então temos que subtrair as coordenadas da carga das do ponto, para encontrar o vetor direção da carga ao ponto

$\left(\frac{P_1-A_1}{\sqrt{(P_1-A_1)^2+(P_2-A_2)^2}},\frac{P_2-A_2}{\sqrt{(P_1-A_1)^2+(P_2-A_2)^2}}\right)$

no nosso caso nos temos que a carga esta distribuída no arco e para cada ponto do arco a coordenada é dada por

$\left(Rcos(\theta),Rsen(\theta)\right)$

e a posição do ponto onde se que calcular o campo é (0,0), portanto o vetor direção vai ser dado por

$\left(\frac{0-Rcos(\theta)}{\sqrt{(0-Rcos(\theta))^2+(0-Rsen(\theta))^2}},\frac{0-Rsen(\theta)}{\sqrt{(0-Rcos(\theta))^2+(0-Rsen(\theta))^2}}\right)$

$=\left(\frac{-Rcos(\theta)}{\sqrt{R^2cos^2(\theta)+R^2sen^2(\theta)}},\frac{-Rsen(\theta)}{\sqrt{R^2cos^2(\theta)-R^2sen^2(\theta)}}\right)$

$=\left(\frac{-Rcos(\theta)}{R},\frac{-Rsen(\theta)}{R}\right)$

$=\left(-cos(\theta),-sen(\theta)\right)$

portanto esse é o vetor direção de cada pedaço do arco

não sei se ficou claro mais qualquer coisa comente

Amigo. Muito Obrigado pela paciência. Agora sim consegui entender.
A partir daí consegui fazer todos os outros exercícios. Estava faltando justamente esta explicação.

young_jedi escreveu:sugiro fazer a integral para cada um dos arcos e no final realizar as somas das resultantes
vamos primeiro fazer a do arco menor

temos que sendo a distribuição de cargas é uniforme e nos temos um quarto de circulo então o coeficiente de distribuição para esse primeiro caso sera

$c=\frac{Q}{\pi.R/2}$

$c=\frac{2.Q}{\pi.R}$

agora faremos a integral para encontrar o valor de E
como se trata de uma circunferência vamos utilizar a integração pelo raio e pelo ângulo, sendo que cada pedaço da circunferência gera um campo na origem com sentido

$(-cos(\theta),-sen(\theta))$

substituindo na integral teremos

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{k}{R^2}.\frac{2.Q}{\pi.R}.R.d\theta(-cos(\theta),-sen(\theta))$

isso resulta em

$\frac{k.2Q}{\pi.R^2}(1,-1)$

acredito que seja isso, tente fazer pra os outros dois arcos(atentando para o sinal das cargas)
ai você encontrara outros dois vetores a soma dos três vetores dará o campo elétrico, comente qualquer coisa

De onde veio esse R.d? que você colocou na integral?

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Campo elétrico criado por distribuição uniforme de cargas.

Campo elétrico criado por distribuição uniforme de cargas.

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