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[Derivada]derivada de função de raiz cúbica

[Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Sáb Jul 20, 2013 15:22

Olá a todos.

Dada a função :

f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{x^2}}

Tenho dúvidas quanto à solução dada no livro de onde retirei a questão. Que é como se segue:

f^,(x)=-\frac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}

Tanto quanto sei a fórmula para a derivada de uma raiz é : y^,=m\cdotu^{m-1}\cdot u^,

ou, esta outra: y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,

A derivada do radicando,u= (\frac{3}{x^2}) aplicando a fórmula de resolução do quociente dá u^, =(-\frac{6}{x^3}). Aplicando no lugar correto da/s fórmula/s, e desenvolvendo qualquer uma delas na integra deveríamos chegar á solução dada. Facto que aliás não consegui.
A minha dúvida é a seguinte:__ Será que a solução está errada ? Ou me estão faltando alguns artifícios matemáticos para conseguir chegar a ela ?
Gostava que alguém resolvesse a questão na integra,até à simplificação máxima para verificação, e assim tirar minha dúvida.

Grato pela atenção
armando
Editado pela última vez por armando em Sáb Jul 20, 2013 16:17, em um total de 1 vez.
armando
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor MateusL » Sáb Jul 20, 2013 15:49

Armando, apesar de ter ficado meio vago o seu pedido, acredito, pelo título deste tópico, que queres descobrir a derivada de f(x)

Basta notar que:

\dfrac{d x^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}

E que f(x) pode ser escrito como:

f(x)=\sqrt[3]{3}\cdot x^\frac{-2}{3}

Abraço!
MateusL
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Sáb Jul 20, 2013 16:44

Olá MateusL .

É possível que o meu pedido lhe parecesse meio vago no momento em que você o viu. Dado que logo no início,quando o estava iniciando me descuidei, e sem querer clikei em Enviar. Creio que foi esse o motivo.
armando
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor MateusL » Sáb Jul 20, 2013 17:01

Armando, não seria f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}?

Porque só assim o resultado iria fechar.

Se for, basta notar que:

f(x)=\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}}

E, como \dfrac{dx^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}:

\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{d(\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}})}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{d x^{-\frac{2}{5}}}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{-2}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}-1}=-\dfrac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}}

Qualquer dúvida, só perguntar!
Abraço!
MateusL
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Dom Jul 21, 2013 22:17

Olá Mateus.

De facto você tinha razão. Na verdade eu me enganei ao transcrever o enunciado aqui para o fórum. Efetivamente, como pude verificar com mais atenção no livro de onde o saquei, em vez de raiz cubica, está de facto raiz quinta. Assim, já consegui chegar à solução por uma das fórmulas que referi.
Obrigado por compartilhar a sua perspicácia, e me alertar para o meu erro.

Abraço !
armando
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}