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[Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

[Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

Mensagempor jpreis » Seg Jul 15, 2013 23:10

Fala Galera, blz? Peço a gentileza de me ajudar no seguinte problema:

"Num determinado circuito elétrico, a corrente 'I' é dada, em função da voltagem 'V', da resistência 'R' e da indutância 'L' por I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}. No instante em que 'V' é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0,1 ohms por segundo, enquanto que 'L' é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0,05 henrys por segundo. Qual deve ser a variação de 'V', neste instante, para que a corrente permaneça constante?". Resposta = 3 volts por segundo.


COMO TENTEI RESOLVER: primeiro achei o valor de I através da substituição dos valores fornecidos pelo enunciado na equação I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}, ficando desta forma: I = \frac{210}{\sqrt[2]{49}} = 30. Após encontrar o valor de I, este foi igualado às derivadas de I em função das variáveis \frac{\partial I}{\partial V}, \frac{\partial I}{\partial R}  e  \frac{\partial I}{\partial L} e multipliquei cada derivada parcial por sua respectiva taxa de variação \frac{dV}{dt}, \frac{dR}{dt} e \frac{dL}{dt}; lembrando que o valor que quero encontrar é \frac{dV}{dt}; assim ficou: 30 = \frac{\partial I}{\partial V}.\frac{dV}{dt} + \frac{\partial I}{\partial R}.\frac{dR}{dt} + \frac{\partial I}{\partial L}.\frac{dL}{dt}.
Resolvendo as derivadas, encontrei: \frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}; \frac{\partial I}{\partial R} = \frac{V}{L.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{R}^{2}}; e \frac{\partial I}{\partial L} = \frac{V}{R.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{L}^{2}}.

Fazendo desta forma encontrei um valor na ordem de 200, ou seja, muito distante da resposta correta (3 volts/s). Refiz diversas vezes e não saiu deste resultado.

Desde já agradeço a ajuda. Forte abraço!

jpreis
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Re: [Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

Mensagempor Russman » Ter Jul 16, 2013 00:36

O seu problema é inteiramente de Cálculo Diferencial. Voce tem uma função I que depende de 3 variáveis V, R e L as quais dependem do tempo t. Assim, a derivada total de I será

I = I\left ( V\left ( t \right ),R\left ( t \right ),L\left ( t \right ) \right )
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}I = \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+ \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial t}.

Dada a função, temos que

\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{1}{2}}}\\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{RV}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}}
\\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{10VL}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}}
\end{matrix}\right.

Se queremos calcular a variação de V, isto é, \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} no instante indicado, para que a corrente se mantenha constante, isto é, \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=0 , então basta substituir na relação da derivada e teremos um resultado. Veja que no instante indicado temos

\left\{\begin{matrix}
V=210 \\
R=3 \\
L=2\\
\frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( 3^{2} + 10.2^{2}\right )^{\frac{1}{2}}}  \\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{3.210}{\left ( 7\right )^{3}} 
\\ 
\frac{\partial I}{\partial L} = -\frac{10.210.2}{\left ( 7\right )^{3}} \\
\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=-0,1 \\
\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} T} = 0,05
\end{matrix}\right

Agora substitua os valores, isole a derivada temporal de V e terá a solução.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.