Comprimento de Curva

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Comprimento de Curva

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Comprimento de Curva

Mensagempor Marcossiva » Sex Jun 28, 2013 10:59

Na resolução de uns exercícios me deparei com a seguinte questão :

C: r(t) = 3t i + t^ \frac{3}{2}j

0\leq t\leq 4


para calcular o comprimento de uma curva polar:

L =\int\limits_{a}^b~\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\Theta})^2}d\Theta

A Questão ate me parece simples só que me gerou uma dúvida pelos vetores, é o que tá na formula mesmo ? o (3t i + t^ \frac{3}{2}j)^2+ a derivada do mesmo ?
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Re: Comprimento de Curva

Mensagempor young_jedi » Sex Jun 28, 2013 11:35

neste caso oque eu sugiro é utilizar a seguinte relação

r(t)=x(t)i+y(t)j

e calcular o comprimento pela relação

\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt
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Re: Comprimento de Curva

Mensagempor young_jedi » Sex Jun 28, 2013 11:35

neste caso oque eu sugiro é utilizar a seguinte relação

r(t)=x(t)i+y(t)j

e calcular o comprimento pela relação

\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt
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Re: Comprimento de Curva

Mensagempor Marcossiva » Sex Jun 28, 2013 11:53

Obrigado pela dica.

Vou tentar.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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