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[Derivadas Segundas] Duas variaveis

[Derivadas Segundas] Duas variaveis

Mensagempor fabriel » Dom Jun 23, 2013 01:32

E ai pessoal, estou na duvida nesse exercicio... Vejam:

Se w=f(x,y), em que x={e}^{r}cos\theta e y={e}^{r}sin\theta, mostre que,

\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}={e}^{-2r}\left(\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}} \right)

Resolvendo.... Sei que..

\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}} \frac{{\partial}^{2}x}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}} \frac{{\partial}^{2}y}{{\partial}r^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}{e}^{r}cos\theta+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}{e}^{r}sin\theta

e

\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}} \frac{{\partial}^{2}x}{{\partial}\theta^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}} \frac{{\partial}^{2}y}{{\partial}\theta^{2}}=\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}x^{2}}(-{e}^{r}cos\theta)+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}y^{2}}(-{e}^{r}sin\theta)

E quando vou somar a expressão \frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}r^{2}}+\frac{{\partial}^{2}w}{{\partial}\theta^{2}} vai zera:

Onde eu errei nos calculos?
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Re: [Derivadas Segundas] Duas variaveis

Mensagempor young_jedi » Dom Jun 23, 2013 11:54

Na verdade você tem que

\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial x}.\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}

calculando a derivada segunda teremos que

\frac{\partial^2 w}{\partial r^2}=\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}.\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.\frac{\partial y}{\partial r}\right).\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial^2 x}{\partial r^2}+
\left(\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}.\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.\frac{\partial x}{\partial r}\right).\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial^2 y}{\partial r^2}

para teta é a mesma coisa, comente se tiver duvidas
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Re: [Derivadas Segundas] Duas variaveis

Mensagempor fabriel » Dom Jun 23, 2013 13:50

hummm obrigado aiestou começando a compreender essa passagem.

Mas a minha duvida é em relação a essa expressão por exemplo:

\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y}.

Como ficaria essa expressão?
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Re: [Derivadas Segundas] Duas variaveis

Mensagempor young_jedi » Seg Jun 24, 2013 18:52

como não sabemos qual é a relação de w com x e y, não tem como calcular essa parcela
mais repare que esta parcela aparece duas vezes na expressão, o esperado é que ao substituir os valores das demais derivadas parciais e fazendo a soma com a derivada parcial com relação a teta você consiga cancelar essas duas parcela.
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: