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[Dúvida] Regra de L'hôpital

[Dúvida] Regra de L'hôpital

Mensagempor Borracha22 » Ter Mai 28, 2013 18:38

Comecei a fazer um exercícios de limite aqui e não consegui fazer quase nenhum. Detalhe, o exercício pedia para que fosse aplicada a Regra de L'hôpital, que eu não sei qual é, então procurei e a coisa mais simples que encontrei foi derivar o numerador e o denominador de cada função até que um limite fosse determinado. Entretanto, mesmo assim, não consegui fazer metade do exercício. Se fosse possível gostaria de ver toda a resolução de cada uma delas ou uma explicação mais precisa e simples do que é a regra de L'hôpital.

m)\lim_{x\to0^+}x.lnx

n)\lim_{x\to\pi/4}(1-tgx)sec(2x))

o)\lim_{x\to\0^+}(\frac{1}{x}-\frac{1}{senx})=

p)\lim_{x\to\0}(\frac{1}{x^2}-\frac{cos(3x)}{x^2})

q)\lim_{x\to0}cscx-\frac{1}{x}

r)\lim_{x\to\0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})

t)\lim_{x\to\0^+}(1+x)^\frac{1}{x}

u)\lim_{x\to0}(e^x+x)^\frac{1}{x}

v)\lim_{x\to1}(2-x)^{tg(\frac{\pi}{2}-x)}

Respostas: m) 0, n) 1, o) 0, p) 9/2, q) 0, r) 0, t) e, u) 2, v) e²
Borracha22
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Re: [Dúvida] Regra de L'hôpital

Mensagempor raimundoocjr » Ter Mai 28, 2013 19:19

Tenta aplicar mais de uma vez a regra.
raimundoocjr
 

Re: [Dúvida] Regra de L'hôpital

Mensagempor Man Utd » Ter Mai 28, 2013 23:11

letra u)
\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}(e^{x}+x)^{\frac{1}{x}}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty} ln(e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u})^{u}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{ln(e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u})}{(\frac{1}{u})}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}}}*(e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}})´}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(L) \\\\
\\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}}}*(e^{\frac{1}{u}}*-\frac{1}{u}-\frac{1}{u})}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(L) \\\\\\  \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{-\frac{1}{u^{2}}(e^{\frac{1}{u}}+1)}{e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u}}}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(l) \\\\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{(e^{\frac{1}{u}}+1)}{e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u}}=ln(l)\Rightarrow \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0}=ln(l)\Rightarrow 2=ln(l)\Leftrightarrow L=e^{2}

obs:apliquei L'Hospital na terceira linha.dá uma conferida no gabarito por favor. :-D
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}