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[Limites] Calculo de limite usando o teorema do confronto.

[Limites] Calculo de limite usando o teorema do confronto.

Mensagempor erickm93 » Qua Mai 22, 2013 10:48

Olá, recentemente tive uma prova de Cálculo I e me surgiu uma duvida sobre a seguinte questão
Calcular o limite seguinte, utilizando o teorema do confronto, e provar sua existência através dos limites laterais, segue o limite:
\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}

Utilizei o Wolfram Alpha para calcular este limite e ele me voltou a resposta como sendo 0, só que, minha professora corrigiu a prova e disse que este limite não existe. Minha dúvida é, qual das duas respostas está correta?

Obrigado desde já.
erickm93
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Re: [Limites] Calculo de limite usando o teorema do confront

Mensagempor Man Utd » Qua Mai 22, 2013 12:21

na minha opinião \lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}, existe sim, pois pelo teorema do confronto e lembrando que a função seno é limitada em -1 e 1.
\\\\ -1\leq sen a \geq 1 \\\\ -1\leq sen(\frac{1}{x})\leq 1 \\\\ -1.\sqrt{x}\leq \sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})\leq \sqrt{x}*1 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}-\sqrt{x}=0 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0 \\\\ entao pelo teorema do confronto,\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})=0

porém \lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x}) não existe pois a função oscila,veja que limites laterais diferem muito:
x=0,00000001----------f(x)=sen(1/x)=-0,98...
x=0.00000002----------f(x)=sen(1/x)=-0,64...
x=0.00000003----------f(x)=sen(1/x)=-0,54...
x=0.00000004----------f(x)=sen(1/x)=0,34
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Re: [Limites] Calculo de limite usando o teorema do confront

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 22, 2013 20:27

erickm93 escreveu:Olá, recentemente tive uma prova de Cálculo I e me surgiu uma duvida sobre a seguinte questão
Calcular o limite seguinte, utilizando o teorema do confronto, e provar sua existência através dos limites laterais, segue o limite:
\lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}

Utilizei o Wolfram Alpha para calcular este limite e ele me voltou a resposta como sendo 0, só que, minha professora corrigiu a prova e disse que este limite não existe. Minha dúvida é, qual das duas respostas está correta?

Obrigado desde já.


Man Utd escreveu:na minha opinião \lim_{x\to0}{\sqrt{x}.\sin{(\frac{1}{x})}}, existe sim, pois pelo teorema do confronto e lembrando que a função seno é limitada em -1 e 1.
\\\\ -1\leq sen a \geq 1 \\\\ -1\leq sen(\frac{1}{x})\leq 1 \\\\ -1.\sqrt{x}\leq \sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})\leq \sqrt{x}*1 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}-\sqrt{x}=0 \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0 \\\\ entao pelo teorema do confronto,\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}*sen(\frac{1}{x})=0

porém \lim_{x\rightarrow 0}sen(\frac{1}{x}) não existe pois a função oscila,veja que limites laterais diferem muito:
x=0,00000001----------f(x)=sen(1/x)=-0,98...
x=0.00000002----------f(x)=sen(1/x)=-0,64...
x=0.00000003----------f(x)=sen(1/x)=-0,54...
x=0.00000004----------f(x)=sen(1/x)=0,34


Existe um motivo muito simples para este limite não existir: o limite lateral esquerdo não está definido.

Notem que no termo \sqrt{x} não podemos ter x\to 0^-, já que no conjunto dos números reais não temos a raiz quadrada de um número x < 0 (e vale lembrar que estamos tratando em Cálculo I apenas de funções reais).

Quando o referido programa calculou este limite, ele na verdade apenas considerou o limite lateral direito. Ou seja, na verdade ele calculou:

\lim_{x\to 0^+}{\sqrt{x}\sin \frac{1}{x}}

Observação

Este exercício é interessante para ilustrar que não se pode acreditar cegamente em um programa de computador. A pessoa que está usando o programa deve fazer uma interpretação dos dados para avaliar se a resposta fornecida é coerente.
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Re: [Limites] Calculo de limite usando o teorema do confront

Mensagempor erickm93 » Qua Mai 22, 2013 23:49

Obtive uma resposta de um colega que também achei interessante, ele me disse que o Wolfram calcula limites no conjunto dos complexos, por isso quando o mandei calcular aquele limite ele me retornou a resposta 0.
Agora com a sua resposta de que em Calculo I trabalhamos somente no conjunto dos reais, ficou ainda mais claro em minha mente a resposta para a dúvida que havia me surgido.
Agradeço pela atenção, abraços e até a próxima.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.