[Limite]será que existe assintota vertical aqui?

por **marcosmuscul** » Ter Mai 21, 2013 12:03

seja ${D}_{f(x)} = x \in \Re , x > a$

$\lim_{x \rightarrow {a}^{+}} f(x) = \infty$

existe ou não assintota vertical em x = a?

fiquei na duvida pois no livro da dizendo que pra existir limite infinito, ou seja , assintota vertical, o limite precisa ir ao infinito positivo ou negativo tanto pela direita quanto pela esquerda de a.

outra duvida é:
Em relação a uma função definida para x diferente de a.
se pela esquerda o limite é infinito negativo e pela esquerda é infinito positivo. Posso dizer que existe assíntota vertical?

por **LuizAquino** » Dom Mai 26, 2013 02:48

marcosmuscul escreveu:seja ${D}_{f(x)} = x \in \Re , x > a$

$\lim_{x \rightarrow {a}^{+}} f(x) = \infty$

existe ou não assintota vertical em x = a?

Sim, existe.

Por definição, dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se qualquer um dos dois casos abaixo acontecer:

(i) $\lim_{x\to a^-} f(x) = \infty$

(ii) $\lim_{x\to a^+} f(x) = \infty$

Em outras palavras, note que x = a será uma assíntota vertical quando qualquer um dos limites laterais for infinito.

Observação: aqui o símbolo $\infty$ pode ser $+\infty$ ou $-\infty$ dependendo do caso.

marcosmuscul escreveu:fiquei na duvida pois no livro da dizendo que pra existir limite infinito, ou seja , assintota vertical, o limite precisa ir ao infinito positivo ou negativo tanto pela direita quanto pela esquerda de a.

Você está confundindo dois conceitos diferentes: existir o limite (e ele ser igual a infinito); ter uma assíntota vertical.

Para ter uma assíntota vertical, basta respeitar a definição apresentada anteriormente.

Já para existir o limite, devemos ter que seus laterais são iguais.

Em outras palavras, temos que $\lim_{x\to a} f(x)$ existe e é igual a L, quando ocorrer $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L$ . Aqui não importa se L representa um número real fixo ou o conceito de infinito.

Por exemplo, para que $\lim_{x\to a} f(x)$ exista e seja igual a $+\infty$ , devemos ter $\lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = +\infty$ .

marcosmuscul escreveu:outra duvida é:
Em relação a uma função definida para x diferente de a.
se pela esquerda o limite é infinito negativo e pela esquerda é infinito positivo. Posso dizer que existe assíntota vertical?

Eu presumo que você quis dizer "(...) e pela direita é infinito positivo (...)".

Neste caso, observando a definição de reta assíntota, então a resposta é sim.

Mas note que neste caso, analisando a existência do limite, temos que o limite quando x tende para a não existe.

Por exemplo, na função $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ temos que:

(i) x = 1 é uma assíntota vertical;

(ii) Não existe $\lim_{x\to 1} f(x)$ .

Observação

Eu gostaria de sugerir que você assista as videoaulas "03. Cálculo I - Limites Laterais" e "05. Cálculo I - Limites Infinitos". Elas estão disponíveis na página do meu projeto:

http://www.lcmaquino.org/

Eu espero que essas videoaulas possam lhe ajudar a entender melhor os conceitos.