[Integral Duplo]

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Mensagempor pires_ » Seg Mai 20, 2013 18:42

Calcule o integral duplo ??e^x³ dA na região R definida por ?y ? x ? 1 e 0 ? y ? 1.
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor young_jedi » Ter Mai 21, 2013 18:20

analiando o intervalo de integração podemos perceber que é possível mudar a ordem de integração sendo que esta área também pode ser reprsentada por

0\leq y\leq x^2

0\leq x\leq 1

então a integral ficaria

\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^2}e^{x^3}dydx

tente concluir e comente as duvidas
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor pires_ » Qua Mai 22, 2013 17:34

Como é a primitiva de e^x^3 ?
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor young_jedi » Qua Mai 22, 2013 18:56

faça a integral primeiro em y e depois em x fica mais fácil
se não entender comente..
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor pires_ » Qua Mai 22, 2013 20:35

Depois fico com o integral de e^x^3 . x^2 em ordem a x , certo ? Depois não sei o que fazer ...
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor young_jedi » Qua Mai 22, 2013 21:02

muito bem você vai ficar com a seguinte integral

\int_{0}^{1}e^{x^3}.x^2dx

esta integral você faz por substituição

u=x^3

du=3x^2dx

então a integral fica

\int\frac{e^{u}}{3}du

=\frac{e^u}{3}

=\frac{e^{x^3}}{3}\Big|_0^1
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor pires_ » Qui Mai 23, 2013 12:11

o x^2 desaparece ?
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Re: [Integral Duplo]

Mensagempor young_jedi » Qui Mai 23, 2013 16:50

não é que ele desaprarece, você substitui ele

x^2.dx=\frac{du}{3}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
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Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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