Derivada

por **Man Utd** » Seg Mai 13, 2013 21:48

Prove o teorema: se f é derivável em p, então f é contínua em p.

Resolução Guidorizzi:
pela hipótese f é derivável em p, logo $\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$ existe e é igual a f'(p)

.Precisamos provar que f é contínua em p, isto é $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)$ .Temos:

$f(x)-f(p)=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}*(x-p),(x-p)\neq 0$

daí,

$\lim_{x\rightarrow p}[f(x)-f(p)]=\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\lim_{x\rightarrow p}{x-p}=f'(p)*0=0$

ou seja:

$\lim_{x\rightarrow p}[f(x)-f(p)]=0$ ---1° dúvida: Por que ele não simplesmente aplicou o limite assim: $\lim_{x\rightarrow p}[f(x)-f(p)]=f(p)-f(p)=0$ , em vez de fazer todo o procedimento acima?

e,portanto.

$\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)$ ---2° dúvida:como ele chegou nessa expressão?
foi assim? $\lim_{x\rightarrow p}[f(x)-f(p)]=0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow p}f(x)-\lim_{x\rightarrow p}f(p)=0 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow p}f(x)=f(p)$ obs: eu utilizei a propriedade da subtração de um limite e a propriedade do limite de uma constante.

por **Man Utd** » Dom Mai 19, 2013 16:19

por **e8group** » Dom Mai 19, 2013 16:47

Se compreendi sua dúvida.Respondendo sua 1°) dúvida ,note que o autor quer provar que diferenciabilidade implica continuidade,se ele seguisse sua sugestão não demonstraria a prova deste teorema . Na segunda dúvida ,seu argumento está correto ,tal igualdade segue das propriedades operatórias dos limites .

por **Man Utd** » Dom Mai 19, 2013 21:46

Vlw santhiago,obrigado pela ajuda

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