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[LIMITES] Função de duas variáveis

[LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 03:18

Estou em um exercício onde pede-se para calcular o seguinte limite:

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  \frac{{x}^{³}+{y}^{³}}{{x}^{2}+{y}^{2}}

reescrevendo..

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  x\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} +\lim_{x,y\rightarrow0,0}  y\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}
certo?

ai me disseram para usar o teorema do limite de função limitada vezes função que vai pra zero, que o limite daria zero..
mas cadê a função limitada ai? podem me ajudar? obrigado!!

edit: outra dúvida pertinente ao assunto.. como posso provar que um limite desse tipo não existe? Obrigado.
edit2: creio que a minha dificuldade esteja em 'perceber' e provar que uma função é limitada. como posso fazer isso?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 11:58

a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 14:30

Entendo.. mas porque ela precisa ser limitada? Bastaria que o limite convergisse, não? porque ai seria 0*(algum número real) = 0
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 20:18

sim, é exatamente isso que quer dizer limitada, significa que ela possui um valor maximo, ou seja multiplicada por zero resultara em zero
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qua Abr 24, 2013 01:12

young_jedi escreveu:a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite



estava aqui pensando.. como você sabe que a função é limitada superior e inferiormente por 1?
Porque veja..

para x e y diferentes de 0

y² > ou = 0

somando x²..

y² + x² > ou = 0 + x²

dividindo ambos os lados por x²+y²

1 > ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2}

isso nos provou que ela é limitada superiormente (ou seja, é sempre menor do que 1)

ai tentei proceder assim para provar que ela é sempre maior do que -1 também:

|x|² = x²

então

\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{|x^2|}{|x^2|+|y^2|}

e ai, fiz
= |\frac{x^2}{x^2+y^2}| < ou = 1
<=> -1 < ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2} < ou igual 1
só que acho que está errada essa minha passagem, pois a desigualdade triangular diz que
|a+b| < ou igual |a|+|b|

ou eu posso fazer isso de passar o módulo para a fração toda, já que está tudo ao quadrado?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 09:53

oque voce fez de passar o modulo sobre a fração toda é valido

mais repare que quaisquer que seja x e y a fração vai sempre resultar em um valor positivo portanto ela é sempre maior ou igual a 0 sendo assim seu limite inferior é 0 e não -1
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qui Abr 25, 2013 06:03

opa, tem razão. :y:
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor brunno10 » Qua Mai 01, 2013 00:28

Ola, pessoal!
gostaria de saber se voces tem alguma video-aula referente a como fazer o calculo do limite de uma função que apresente
quiciente indeterminado?
agradeço
brunno10
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}