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[LIMITES] Função de duas variáveis

[LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 03:18

Estou em um exercício onde pede-se para calcular o seguinte limite:

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  \frac{{x}^{³}+{y}^{³}}{{x}^{2}+{y}^{2}}

reescrevendo..

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  x\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} +\lim_{x,y\rightarrow0,0}  y\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}
certo?

ai me disseram para usar o teorema do limite de função limitada vezes função que vai pra zero, que o limite daria zero..
mas cadê a função limitada ai? podem me ajudar? obrigado!!

edit: outra dúvida pertinente ao assunto.. como posso provar que um limite desse tipo não existe? Obrigado.
edit2: creio que a minha dificuldade esteja em 'perceber' e provar que uma função é limitada. como posso fazer isso?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 11:58

a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 14:30

Entendo.. mas porque ela precisa ser limitada? Bastaria que o limite convergisse, não? porque ai seria 0*(algum número real) = 0
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 20:18

sim, é exatamente isso que quer dizer limitada, significa que ela possui um valor maximo, ou seja multiplicada por zero resultara em zero
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qua Abr 24, 2013 01:12

young_jedi escreveu:a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite



estava aqui pensando.. como você sabe que a função é limitada superior e inferiormente por 1?
Porque veja..

para x e y diferentes de 0

y² > ou = 0

somando x²..

y² + x² > ou = 0 + x²

dividindo ambos os lados por x²+y²

1 > ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2}

isso nos provou que ela é limitada superiormente (ou seja, é sempre menor do que 1)

ai tentei proceder assim para provar que ela é sempre maior do que -1 também:

|x|² = x²

então

\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{|x^2|}{|x^2|+|y^2|}

e ai, fiz
= |\frac{x^2}{x^2+y^2}| < ou = 1
<=> -1 < ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2} < ou igual 1
só que acho que está errada essa minha passagem, pois a desigualdade triangular diz que
|a+b| < ou igual |a|+|b|

ou eu posso fazer isso de passar o módulo para a fração toda, já que está tudo ao quadrado?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 09:53

oque voce fez de passar o modulo sobre a fração toda é valido

mais repare que quaisquer que seja x e y a fração vai sempre resultar em um valor positivo portanto ela é sempre maior ou igual a 0 sendo assim seu limite inferior é 0 e não -1
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qui Abr 25, 2013 06:03

opa, tem razão. :y:
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor brunno10 » Qua Mai 01, 2013 00:28

Ola, pessoal!
gostaria de saber se voces tem alguma video-aula referente a como fazer o calculo do limite de uma função que apresente
quiciente indeterminado?
agradeço
brunno10
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59