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[LIMITES] Função de duas variáveis

[LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 03:18

Estou em um exercício onde pede-se para calcular o seguinte limite:

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  \frac{{x}^{³}+{y}^{³}}{{x}^{2}+{y}^{2}}

reescrevendo..

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  x\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} +\lim_{x,y\rightarrow0,0}  y\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}
certo?

ai me disseram para usar o teorema do limite de função limitada vezes função que vai pra zero, que o limite daria zero..
mas cadê a função limitada ai? podem me ajudar? obrigado!!

edit: outra dúvida pertinente ao assunto.. como posso provar que um limite desse tipo não existe? Obrigado.
edit2: creio que a minha dificuldade esteja em 'perceber' e provar que uma função é limitada. como posso fazer isso?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 11:58

a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 14:30

Entendo.. mas porque ela precisa ser limitada? Bastaria que o limite convergisse, não? porque ai seria 0*(algum número real) = 0
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 20:18

sim, é exatamente isso que quer dizer limitada, significa que ela possui um valor maximo, ou seja multiplicada por zero resultara em zero
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qua Abr 24, 2013 01:12

young_jedi escreveu:a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite



estava aqui pensando.. como você sabe que a função é limitada superior e inferiormente por 1?
Porque veja..

para x e y diferentes de 0

y² > ou = 0

somando x²..

y² + x² > ou = 0 + x²

dividindo ambos os lados por x²+y²

1 > ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2}

isso nos provou que ela é limitada superiormente (ou seja, é sempre menor do que 1)

ai tentei proceder assim para provar que ela é sempre maior do que -1 também:

|x|² = x²

então

\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{|x^2|}{|x^2|+|y^2|}

e ai, fiz
= |\frac{x^2}{x^2+y^2}| < ou = 1
<=> -1 < ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2} < ou igual 1
só que acho que está errada essa minha passagem, pois a desigualdade triangular diz que
|a+b| < ou igual |a|+|b|

ou eu posso fazer isso de passar o módulo para a fração toda, já que está tudo ao quadrado?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 09:53

oque voce fez de passar o modulo sobre a fração toda é valido

mais repare que quaisquer que seja x e y a fração vai sempre resultar em um valor positivo portanto ela é sempre maior ou igual a 0 sendo assim seu limite inferior é 0 e não -1
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qui Abr 25, 2013 06:03

opa, tem razão. :y:
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor brunno10 » Qua Mai 01, 2013 00:28

Ola, pessoal!
gostaria de saber se voces tem alguma video-aula referente a como fazer o calculo do limite de uma função que apresente
quiciente indeterminado?
agradeço
brunno10
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?