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[LIMITES] Função de duas variáveis

[LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 03:18

Estou em um exercício onde pede-se para calcular o seguinte limite:

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  \frac{{x}^{³}+{y}^{³}}{{x}^{2}+{y}^{2}}

reescrevendo..

\lim_{x,y\rightarrow0,0}  x\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}} +\lim_{x,y\rightarrow0,0}  y\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}
certo?

ai me disseram para usar o teorema do limite de função limitada vezes função que vai pra zero, que o limite daria zero..
mas cadê a função limitada ai? podem me ajudar? obrigado!!

edit: outra dúvida pertinente ao assunto.. como posso provar que um limite desse tipo não existe? Obrigado.
edit2: creio que a minha dificuldade esteja em 'perceber' e provar que uma função é limitada. como posso fazer isso?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 11:58

a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Ter Abr 23, 2013 14:30

Entendo.. mas porque ela precisa ser limitada? Bastaria que o limite convergisse, não? porque ai seria 0*(algum número real) = 0
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 20:18

sim, é exatamente isso que quer dizer limitada, significa que ela possui um valor maximo, ou seja multiplicada por zero resultara em zero
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qua Abr 24, 2013 01:12

young_jedi escreveu:a função limitada é o seguinte

\frac{x^2}{x^2+y^2}<\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}

para qualquer que seja x ou y

então simplificando

\frac{x^2}{x^2+y^2}<1

ou seja esta função é limitada ao valor 1 esse é o maximo valor que ela assume então no primeiro limite voce tem que

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}<\lim_{x,y\to0,0} x.1

mais temos que

\lim_{x,y\to0,0} x.1=0

então

\lim_{x,y\to0,0} x.\frac{x^2}{x^2+y^2}=0

poceda de forma semelhante para o outro limite



estava aqui pensando.. como você sabe que a função é limitada superior e inferiormente por 1?
Porque veja..

para x e y diferentes de 0

y² > ou = 0

somando x²..

y² + x² > ou = 0 + x²

dividindo ambos os lados por x²+y²

1 > ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2}

isso nos provou que ela é limitada superiormente (ou seja, é sempre menor do que 1)

ai tentei proceder assim para provar que ela é sempre maior do que -1 também:

|x|² = x²

então

\frac{x^2}{x^2+y^2} = \frac{|x^2|}{|x^2|+|y^2|}

e ai, fiz
= |\frac{x^2}{x^2+y^2}| < ou = 1
<=> -1 < ou igual \frac{x^2}{x^2+y^2} < ou igual 1
só que acho que está errada essa minha passagem, pois a desigualdade triangular diz que
|a+b| < ou igual |a|+|b|

ou eu posso fazer isso de passar o módulo para a fração toda, já que está tudo ao quadrado?
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 09:53

oque voce fez de passar o modulo sobre a fração toda é valido

mais repare que quaisquer que seja x e y a fração vai sempre resultar em um valor positivo portanto ela é sempre maior ou igual a 0 sendo assim seu limite inferior é 0 e não -1
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor Sohrab » Qui Abr 25, 2013 06:03

opa, tem razão. :y:
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Re: [LIMITES] Função de duas variáveis

Mensagempor brunno10 » Qua Mai 01, 2013 00:28

Ola, pessoal!
gostaria de saber se voces tem alguma video-aula referente a como fazer o calculo do limite de uma função que apresente
quiciente indeterminado?
agradeço
brunno10
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}