Ajuda Matemática

Não estou conseguindo resolver este problema:

Seja S a superfície da esfera x²+y²+z²=a², situada no interior do cilindro x²+y² = ay, com a > 0. Determine o valor de a de modo que $A(S)= 18(\Pi-2)$ unidades de área.

a integral de superficie da esfera é dada por

$\int\int R^2cos(\phi)d\theta d\phi$

então voce tem que determinar os limites de integração, temos que
R=a

$x=acos(\phi)cos(\theta)$

$x=acos(\phi)sen(\theta)$

substituindo na equação do cilindro temos

$a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)=a^2cos(\phi)cos(\theta)$

$a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)cos(\theta)$

$cos(\phi)=cos(\theta)$

$\phi=\theta$

então a integral fica

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi}^{\phi} a^2cos(\phi)d\theta d\phi$

tente resolver a integral e comente as duvidas

Obrigada pelo auxílio!

Seguindo o seu raciocínio, estou resolvendo aqui, mas na hora de substituir na equação do cilindro o meu resultado deu diferente.
Acho que você só substituiu o valor de x. ...
Agora vou tentar resolver a integral!

Valeu!

é verdade, na realidade eu substitui errado o valor de y

seria

$a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)sen^2(\theta)=a^2cos(\phi)sen(\theta)$

$a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)sen(\theta)$

$cos(\phi)=sen(\theta)$

$cos(\phi)=cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$

então

$\phi=\theta-\frac{\pi}{2}$

$\theta=\phi+\frac{\phi}{2}$

portanto a integral fica

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi-\frac{\pi}{2}}^{\phi+\frac{\pi}{2}}a^2cos(\phi)d\theta d\phi$

Olá! Consegui fazer até a substituição na equação do cilindro e cheguei em:

$cos\phi = sen\Theta$

Mas não entendi como você determinou os limites de integração. Não consegui sair dessa relação.

então utilizando aqulea relação de seno e cosseno que eu coloquei voce chega em

$\theta=\phi+\frac{\pi}{2}$

como se trata de um cilindro, pela simetria circular dele agente tem então que $-\phi-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\phi+\frac{\pi}{2}$

o o angulo $\phi$ se determina pelo limite da esfera

Eu costumo colocar o $\theta$ determinado pelo limite da esfera.

Aí, para achar o $\phi$ eu calculei o seno de teta (com os limites da esfera) e calculei a inversa do cossseno, encontrando assim os limites de $\phi$ .

Pode ser assim? Pois deu diferente do seu, logo a integral dará diferente.

a integral vai ser diferente, mais o valor final tem que ser igual
de qualquer forma faça do jeito que ficar mais facil pra voce visualizar os limites

Só uma última coisa: na minha integral não aparece esse 2 multiplicando. Como você achou?

esse 2 é porque essa integral é so para a parte de cima da esfera mais o cilindro corta a esfera na parte de baixo tambem sendo a area das duas partes identicas portanto multipliquei por 2

Meu professor falou que deveria utilizar a variação de teta: $0\leq\theta\leq\pi$

E que deveria por coordenadas esféricas a equação da interseção para encontrar a variação de $\phi$ , que dependerá de $\theta$ .

Mas ao substituir na equação, cheguei na seguinte relação:
$cos^{2}\phi = 1- cos\phi.sen\theta$

E não consegui determinar a variação de \phi.
Não sei se fiz errado, mas não consegui chegar nessa variação que você chegou.

eu não entendi como voce chegou nesta relação
de qualquer forma voce pode fazer a integral para

$0<\theta<\pi$

e

$-\theta+\frac{\pi}{2}<\phi<\theta-\frac{\pi}{2}$

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