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Deixar comentários sobre erros e/ou acertos (2)

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Mensagempor Douglas16 » Qua Abr 03, 2013 15:34

Dado o semicírculo com centro O e diâmetro AB de comprimento AB de comprimento 2a.

Considere dois pontos P e Q sobre o semicírculo tal que (ângulo BOQ= \frac{1}{2} \cdot (ângulo AOP) e prolongue a reta PQ até interceptar a reta AB no ponto R.
Sejam as áreas do triângulo OQR e do setor OBQ iguais a {S}_{1} e {S}_{2} respectivamente.

Determine o \lim_{z\rightarrow0} \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}, quando z=(ângulo BOQ).

Não vou colocar o diagrama e a minha resolução por causa do tempo.

Mas o valor limite encontrado por mim é:

\lim_{z\rightarrow0}  \frac{sen\left(z \right)}{z}\left[sen\left(z \right) \cdot cotg\left(\frac{z}{2} \right) +\sqrt[]{1-{sen}^{2}z}\right]=1=\lim_{z\rightarrow0} \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}

Correto ou errado?
Douglas16
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Re: Deixar comentários sobre erros e/ou acertos (2)

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 03, 2013 19:18

eu cheguei em uma expreesão diferente da sua

\lim_{z\to0}\frac{a.sen(\frac{3z}{2}).a.sen(z)}{2sen(\frac{z}{2})a.z}

=\lim_{z\to0}\frac{a.sen(\frac{3z}{2})2sen(\frac{z}{2})cos{\frac{z}{2}}}{2sen(\frac{z}{2})z}

=\lim_{z\to0}\frac{a.sen(\frac{3z}{2})cos{\frac{z}{2}}}{z}

=\frac{3}{2}\lim_{z\to0}\frac{a.sen(\frac{3z}{2})cos{\frac{z}{2}}}{\frac{3}{2}z}=\frac{3}{2}a
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}