Determinar as condições

por **Douglas16** » Sáb Mar 30, 2013 13:16

Determinar as condições para as constantes

,

e

tal que

$f\left(x \right)=\frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax+b}$ satisfaça $\lim_{x\rightarrow0} f(x)=2$ e $\lim_{x\rightarrow\propto} f(x)=0$ .

Minha solução inacabada:

Desde que :
$\lim_{x\rightarrow0} f(x)=2$ portanto b=0

e;

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax}$

, portanto a=q=2

, portanto $f\left(x \right)=\frac{\left(px+2 \right)sen\left(2x \right)}{2x}$ e;

de $\lim_{x\rightarrow\propto} sen\left(2x \right)= indeterminado$ , só sei que devo eliminar esta indeterminação, só não sei como.

por **e8group** » Sáb Mar 30, 2013 15:33

Pensei assim ,

(1)

$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{(px-q)sin(2x)}{x}}{\dfrac{ax+b}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(p-\dfrac{q}{x})sin(2x)}{a + \dfrac{b}{x}}$

Conclusões :

(1.a) q/x

e

tendem a zero quando $x \to +\infty$ .

(1.b) sin(2x)

está oscilando entre -1 e 1 (limite indefinido ) quando $x \to +\infty$

(1.c) (1.a) + (1.b) implica $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \iff$ as parcelas que estão no numerador vão a zero ,isto acontece $\iff p = 0$ e $a \neq 0$ .

(2)

$\lim_{x\to0} f(x) \frac{q \cdot sin(2x)}{ax + b} = q \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{\dfrac{ax+b}{2x}} = 2 \cdot q \lim_{x\to0} \frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{a + \dfrac{b}{x}}$

Conclusões :

(2.a) Pelo limite fundamental trigonométrico $\lim_{x\to0} \frac{sin(2x)}{2x} =1$ .

(2.b) Como $\lim_{x\to0} f(x)$ é finito e é igual a 2, temos que b = 0

pois caso contrário , b/x

tenderia $\infty$ e f(x)

a zero [pois $q \neq 0$ ](que não é o caso ) .

(3.b) De b = 0

concluímos que $\lim_{x\to0} f(x) = 2 \iff a = q = 1$ .

Em resumo :

a = 1 , q = 1, p = 0 , b = 0

.

Poderia por favor confirma se está certo ?

por **Douglas16** » Sáb Mar 30, 2013 16:14

Então, eu estava a resolver também, e o que me impedia de finalizar era a condição para o limite de f(x) quando x tende ao infinito, pois mesmo que o valor de p seja constante (ou seja finito) e mesmo que considerasse tal valor igual a zero, ainda assim eu teria a seguinte indeterminação: $0*\propto$ (quando p =0), agora quanto ao restante dos valores das outras constantes eu só não estou com tempo de analisar sua resolução, pois tenho que ir trabalhar agora e se Deus quiser só volto depois de 23:59 hs de hoje, ou seja amanhã por volta das 00:30.
Mas também suspeito que não haja erro na sua resolução, pelo motivo de que a indeterminação pode ser resolvida se este caso ou tipo de situação algébrica permitir.
Mas agradeço se deixar um esclarecimento para o meu erro em relação a definição da indeterminação se caso ele estiver errado ou se estiver correto também agradeço o seu comentário.

por **Douglas16** » Dom Mar 31, 2013 03:33

voltei.
Quanto a indeterminação, por se tratar de uma expressão em construção, eu posso admitir o valor de p=0, mas quanto aos valores de a e q, eu posso admitir tanto a=q=2 ou a=q=1.
Se eu estiver errado me corrija.

por **e8group** » Dom Mar 31, 2013 09:59

Sim , e ainda podemos generalizar ,tomar $a = q = t , t\in \mathbb{R^*} = \mathbb{R}\setminus\{0\} = (-\infty ,0)\cup (0,+\infty)$ .

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