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Determinar as condições

Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Sáb Mar 30, 2013 13:16

Determinar as condições para as constantes a, b, p e qq tal que

f\left(x \right)=\frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax+b} satisfaça \lim_{x\rightarrow0} f(x)=2 e \lim_{x\rightarrow\propto} f(x)=0.

Minha solução inacabada:

Desde que :
\lim_{x\rightarrow0} f(x)=2 portanto b=0 e;

\lim_{x\rightarrow0} \frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax}=2, portanto a=q=2, portanto f\left(x \right)=\frac{\left(px+2 \right)sen\left(2x \right)}{2x} e;

de \lim_{x\rightarrow\propto} sen\left(2x \right)= indeterminado, só sei que devo eliminar esta indeterminação, só não sei como.
Editado pela última vez por Douglas16 em Dom Mar 31, 2013 03:54, em um total de 1 vez.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor e8group » Sáb Mar 30, 2013 15:33

Pensei assim ,

(1)

\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{(px-q)sin(2x)}{x}}{\dfrac{ax+b}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(p-\dfrac{q}{x})sin(2x)}{a + \dfrac{b}{x}}

Conclusões :

(1.a) q/x e b/x tendem a zero quando x \to +\infty .

(1.b) sin(2x) está oscilando entre -1 e 1 (limite indefinido ) quando x \to +\infty

(1.c) (1.a) + (1.b) implica \lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \iff as parcelas que estão no numerador vão a zero ,isto acontece \iff p = 0 e a \neq 0 .


(2)

\lim_{x\to0} f(x) \frac{q \cdot sin(2x)}{ax + b} = q \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{\dfrac{ax+b}{2x}} = 2 \cdot q \lim_{x\to0}  \frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{a + \dfrac{b}{x}}

Conclusões :

(2.a) Pelo limite fundamental trigonométrico \lim_{x\to0} \frac{sin(2x)}{2x} =1 .

(2.b) Como \lim_{x\to0} f(x) é finito e é igual a 2, temos que b = 0 pois caso contrário , b/x tenderia \infty e f(x) a zero [pois q \neq 0 ](que não é o caso ) .

(3.b) De b = 0 concluímos que \lim_{x\to0} f(x) = 2 \iff a = q = 1 .


Em resumo :

a = 1 , q = 1, p = 0 , b = 0 .



Poderia por favor confirma se está certo ?
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Re: Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Sáb Mar 30, 2013 16:14

Então, eu estava a resolver também, e o que me impedia de finalizar era a condição para o limite de f(x) quando x tende ao infinito, pois mesmo que o valor de p seja constante (ou seja finito) e mesmo que considerasse tal valor igual a zero, ainda assim eu teria a seguinte indeterminação: 0*\propto (quando p =0), agora quanto ao restante dos valores das outras constantes eu só não estou com tempo de analisar sua resolução, pois tenho que ir trabalhar agora e se Deus quiser só volto depois de 23:59 hs de hoje, ou seja amanhã por volta das 00:30.
Mas também suspeito que não haja erro na sua resolução, pelo motivo de que a indeterminação pode ser resolvida se este caso ou tipo de situação algébrica permitir.
Mas agradeço se deixar um esclarecimento para o meu erro em relação a definição da indeterminação se caso ele estiver errado ou se estiver correto também agradeço o seu comentário.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Dom Mar 31, 2013 03:33

voltei.
Quanto a indeterminação, por se tratar de uma expressão em construção, eu posso admitir o valor de p=0, mas quanto aos valores de a e q, eu posso admitir tanto a=q=2 ou a=q=1.
Se eu estiver errado me corrija.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor e8group » Dom Mar 31, 2013 09:59

Sim , e ainda podemos generalizar ,tomar a = q = t ,  t\in \mathbb{R^*} = \mathbb{R}\setminus\{0\} = (-\infty ,0)\cup (0,+\infty) .
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.


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