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Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor fabiodultra » Seg Nov 26, 2007 21:57

Oí amigos! Tudo bem?

Estou estudando para um concurso e resolvendo algumas questões, porém fiquei com dúvidas nas seguintes questões abaixo:

a) lim t³+4t²+4t OBS: Numerador e Denominador, foi pq não tive como colocar a
t=>-2 (t+2)(t-3) a barra da divisão.

b) lim f(x)
x tendendo ao infinito

c) lim (1+1/n)n+5 OBS: o termo n+5 é o expoente.
x tendendo ao infinito

d) f(x) = x-(x) em x=0 OBS: Os parenteses são módulos.

Se alguém ficar na dúvida sobre algo, pode me mandar um e-mail, que passo as questões:
fabiodultra@gmail.com

Desde já agradeço a atenção de todos.
Abraços...
Até mais.
fabiodultra
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Re: Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 18:20

Olá, seja bem-vindo.
Acredito que estas informações ajudarão em seus estudos, nestes exercícios e em outros.
São links do e-cálculo, referência das disciplinas Cálculo I e II do IME-USP:


Uma breve abordagem sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/limites.htm

Sobre cálculo de limites, exemplos e exercícios:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/calculo_lim.htm

Um estudo das "indeterminações" de limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/indeterminacoes/indeterminacoes.htm

Alguns teoremas sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/alguns_teo_principal.htm

Abraço!
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Sobre a)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 22:08

Além dos materiais acima, seguem alguns comentários sobre os limites enviados.
Confirme se os enunciados foram representados aqui como você queria:

a) \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}
Veja que neste caso, o limite que queremos calcular é o quociente entre dois termos, mas o denominador será zero (o que não pode ocorrer).
Então, a dica é fatorar o numerador para simplificarmos a expressão, suprimindo o fator (t+2) do denominador.

Colocando o t em evidência:
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}
=
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t^2+4t+4)}{(t+2)(t-3)} = ...

E como há um quadrado perfeito:
...= \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)^2}{(t+2)(t-3)} = ...

Então, a simplificação:
... = \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)}
Note que ao simplificarmos (dividirmos numerador e denominador por t+2 com t tendendo à -2), não estamos dividindo por zero, porque no limite, t será tão próximo de -2 quanto se queira, mas não será igual a -2.


Agora, adicionalmente, convém olhar os teoremas sobre as propriedades dos limites (conhecidos como as leis dos limites).
Mas, apenas para brevemente citá-los:
1) o limite de uma soma é a soma dos limites;
2) o limite da diferença é a diferença os limites;
3) o limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função;
4) o limite de um produto é o produto dos limites;
5) o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.

Após a simplificação, podemos fazer separadamente os limites do numerador e do denominador e calcularmos o limite desejado com o teorema 5.

Como:
\lim_{t\rightarrow-2} t(t+2) = 0

E:
\lim_{t\rightarrow-2} t(t-3) = -5

Temos que:
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)} = \frac{0}{-5} = 0
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Sobre c)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 22:51

c) \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5}
(confirme o enunciado, pois você colocou x\rightarrow \infty e eu acreditei ser n\rightarrow \infty)


\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5}
=
\lim_{n\rightarrow \infty}
 \left[
 \left( 1 + \frac1n \right)^n
\left( 1 + \frac1n \right)^5
 \right] = \cdots

\cdots =
\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n
\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^5 = \cdots



\cdots = e \cdot 1 = e
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Sobre b) e d)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 23:48

Sobre b), você tem a função f(x)?
Se não, receio que não podemos afirmar.


Em d) se o enunciado for este:
Calcular \lim_{x\rightarrow0}f(x), onde f(x) = x - |x|

Considere primeiro a definição de módulo:

\begin{displaymath}
|x| = \left\{ \begin{array}{ll}
x & se \ x \geq 0\\
-x & se \ x<0}
\end{array} \right.
\end{displaymath}

Para sabermos se o limite existe e calcularmos, ele deve ser o mesmo tendendo tanto pela direita, quanto pela esquerda.
Este é um outro teorema dos limites.

Teorema:
\lim_{x\rightarrow a}f(x) = L se e somente se \lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = L = \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)

Estes são os chamados limites laterais. As Leis do Limite também devem ser válidas para eles.


Voltanto ao problema, uma vez que |x| = x para x \geq 0, temos:
\lim_{x\rightarrow 0^+} x - x = 0

Para x<0, temos |x| = -x, assim:
\lim_{x\rightarrow 0^-} x - (-x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} 2x = 0

Portanto, pelo Teorema (o limite é o mesmo por ambos os lados):
\lim_{x\rightarrow0}f(x) = \lim_{x\rightarrow0} x - |x| = 0


Espero ter ajudado.
Abraço!
Fábio Sousa
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Re: Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor fabiodultra » Qua Nov 28, 2007 01:21

Com certeza ajudou, e muito!!
Clareou bastante agora.

Muito obrigado mesmo!!
Abraços...
fabiodultra
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D