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Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor fabiodultra » Seg Nov 26, 2007 21:57

Oí amigos! Tudo bem?

Estou estudando para um concurso e resolvendo algumas questões, porém fiquei com dúvidas nas seguintes questões abaixo:

a) lim t³+4t²+4t OBS: Numerador e Denominador, foi pq não tive como colocar a
t=>-2 (t+2)(t-3) a barra da divisão.

b) lim f(x)
x tendendo ao infinito

c) lim (1+1/n)n+5 OBS: o termo n+5 é o expoente.
x tendendo ao infinito

d) f(x) = x-(x) em x=0 OBS: Os parenteses são módulos.

Se alguém ficar na dúvida sobre algo, pode me mandar um e-mail, que passo as questões:
fabiodultra@gmail.com

Desde já agradeço a atenção de todos.
Abraços...
Até mais.
fabiodultra
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Re: Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 18:20

Olá, seja bem-vindo.
Acredito que estas informações ajudarão em seus estudos, nestes exercícios e em outros.
São links do e-cálculo, referência das disciplinas Cálculo I e II do IME-USP:


Uma breve abordagem sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/limites.htm

Sobre cálculo de limites, exemplos e exercícios:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/calculo_lim.htm

Um estudo das "indeterminações" de limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/indeterminacoes/indeterminacoes.htm

Alguns teoremas sobre limites:
http://cepa.if.usp.br/e-calculo/ferramentas/limites/calculo_lim/teoremas/alguns_teo_principal.htm

Abraço!
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Sobre a)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 22:08

Além dos materiais acima, seguem alguns comentários sobre os limites enviados.
Confirme se os enunciados foram representados aqui como você queria:

a) \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}
Veja que neste caso, o limite que queremos calcular é o quociente entre dois termos, mas o denominador será zero (o que não pode ocorrer).
Então, a dica é fatorar o numerador para simplificarmos a expressão, suprimindo o fator (t+2) do denominador.

Colocando o t em evidência:
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}
=
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t^2+4t+4)}{(t+2)(t-3)} = ...

E como há um quadrado perfeito:
...= \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)^2}{(t+2)(t-3)} = ...

Então, a simplificação:
... = \lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)}
Note que ao simplificarmos (dividirmos numerador e denominador por t+2 com t tendendo à -2), não estamos dividindo por zero, porque no limite, t será tão próximo de -2 quanto se queira, mas não será igual a -2.


Agora, adicionalmente, convém olhar os teoremas sobre as propriedades dos limites (conhecidos como as leis dos limites).
Mas, apenas para brevemente citá-los:
1) o limite de uma soma é a soma dos limites;
2) o limite da diferença é a diferença os limites;
3) o limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função;
4) o limite de um produto é o produto dos limites;
5) o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.

Após a simplificação, podemos fazer separadamente os limites do numerador e do denominador e calcularmos o limite desejado com o teorema 5.

Como:
\lim_{t\rightarrow-2} t(t+2) = 0

E:
\lim_{t\rightarrow-2} t(t-3) = -5

Temos que:
\lim_{t\rightarrow-2} \frac{t(t+2)}{(t-3)} = \frac{0}{-5} = 0
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Sobre c)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 22:51

c) \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5}
(confirme o enunciado, pois você colocou x\rightarrow \infty e eu acreditei ser n\rightarrow \infty)


\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^{n+5}
=
\lim_{n\rightarrow \infty}
 \left[
 \left( 1 + \frac1n \right)^n
\left( 1 + \frac1n \right)^5
 \right] = \cdots

\cdots =
\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^n
\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac1n \right)^5 = \cdots



\cdots = e \cdot 1 = e
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Sobre b) e d)

Mensagempor admin » Ter Nov 27, 2007 23:48

Sobre b), você tem a função f(x)?
Se não, receio que não podemos afirmar.


Em d) se o enunciado for este:
Calcular \lim_{x\rightarrow0}f(x), onde f(x) = x - |x|

Considere primeiro a definição de módulo:

\begin{displaymath}
|x| = \left\{ \begin{array}{ll}
x & se \ x \geq 0\\
-x & se \ x<0}
\end{array} \right.
\end{displaymath}

Para sabermos se o limite existe e calcularmos, ele deve ser o mesmo tendendo tanto pela direita, quanto pela esquerda.
Este é um outro teorema dos limites.

Teorema:
\lim_{x\rightarrow a}f(x) = L se e somente se \lim_{x\rightarrow a^-}f(x) = L = \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)

Estes são os chamados limites laterais. As Leis do Limite também devem ser válidas para eles.


Voltanto ao problema, uma vez que |x| = x para x \geq 0, temos:
\lim_{x\rightarrow 0^+} x - x = 0

Para x<0, temos |x| = -x, assim:
\lim_{x\rightarrow 0^-} x - (-x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} 2x = 0

Portanto, pelo Teorema (o limite é o mesmo por ambos os lados):
\lim_{x\rightarrow0}f(x) = \lim_{x\rightarrow0} x - |x| = 0


Espero ter ajudado.
Abraço!
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Re: Quem pode me ajudar com as seguintes questões?

Mensagempor fabiodultra » Qua Nov 28, 2007 01:21

Com certeza ajudou, e muito!!
Clareou bastante agora.

Muito obrigado mesmo!!
Abraços...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?