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[limite polinomial] Problema com fatoração

[limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 18:53

Oi tudo bem?

Não estou conseguindo nem a pau resolver esse limite... Eu fatorei a expressão de cima, mas a de baixo não consegui fatorar de jeito nenhum...
Como devo proceder?


lim_{\ x\to5} \frac{x^3-125}{x^5-3125}
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Qui Mar 28, 2013 20:52

Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 23:04

santhiago escreveu:Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .



Obrigado, consegui resolver.
Isso funcionaria também para
(1 + X )^4 ?
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Sex Mar 29, 2013 00:25

No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Sex Mar 29, 2013 01:10

santhiago escreveu:No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .



A sim, entendi direito, muito obrigado pela ajuda. Estou tendo muitas dificuldades com limite polinomial.
Abraço!
ZANGARO
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)