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[limite polinomial] Problema com fatoração

[limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 18:53

Oi tudo bem?

Não estou conseguindo nem a pau resolver esse limite... Eu fatorei a expressão de cima, mas a de baixo não consegui fatorar de jeito nenhum...
Como devo proceder?


lim_{\ x\to5} \frac{x^3-125}{x^5-3125}
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Qui Mar 28, 2013 20:52

Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 23:04

santhiago escreveu:Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .



Obrigado, consegui resolver.
Isso funcionaria também para
(1 + X )^4 ?
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Sex Mar 29, 2013 00:25

No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Sex Mar 29, 2013 01:10

santhiago escreveu:No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .



A sim, entendi direito, muito obrigado pela ajuda. Estou tendo muitas dificuldades com limite polinomial.
Abraço!
ZANGARO
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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Ola

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59