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[limite polinomial] Problema com fatoração

[limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 18:53

Oi tudo bem?

Não estou conseguindo nem a pau resolver esse limite... Eu fatorei a expressão de cima, mas a de baixo não consegui fatorar de jeito nenhum...
Como devo proceder?


lim_{\ x\to5} \frac{x^3-125}{x^5-3125}
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Qui Mar 28, 2013 20:52

Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 23:04

santhiago escreveu:Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .



Obrigado, consegui resolver.
Isso funcionaria também para
(1 + X )^4 ?
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Sex Mar 29, 2013 00:25

No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Sex Mar 29, 2013 01:10

santhiago escreveu:No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .



A sim, entendi direito, muito obrigado pela ajuda. Estou tendo muitas dificuldades com limite polinomial.
Abraço!
ZANGARO
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}