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[limite polinomial] Problema com fatoração

[limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 18:53

Oi tudo bem?

Não estou conseguindo nem a pau resolver esse limite... Eu fatorei a expressão de cima, mas a de baixo não consegui fatorar de jeito nenhum...
Como devo proceder?


lim_{\ x\to5} \frac{x^3-125}{x^5-3125}
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Qui Mar 28, 2013 20:52

Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Qui Mar 28, 2013 23:04

santhiago escreveu:Veja 125 = 5^3 e 3125 = 5^5 .

Assim ,

x^3 - 125 = x^3 -5^3 e x^5 - 3125 = x^5 - 5^5 .

Em geral para qualquer n natural x^n -a^n = (x-a)(\sum_{k=0}^{n-1} a^{k} \cdot x^{n-(k+1)}) .

Fazendo a = 5 n=3 ,5 .

(a) x^3 - 125 = (x-5)(\sum_{k=0}^{2} 5^{k} \cdot x^{3-(k+1)})  = (x-5)(5^0 \cdot x^2 + 5^1 \cdot x^1 + 5^2 \cdot x^0 ) = (x-5)(x^2 + 5 \cdot x + 25)


(b) x^3 - 3125 =  (x-5)(5^0 \cdot x^4 + 5^1 \cdot x^3 + 5^2 \cdot x^2 + 5^3 \cdot x^1 + 5^4 \cdot x^0) .

Tente concluir a parti daí .



Obrigado, consegui resolver.
Isso funcionaria também para
(1 + X )^4 ?
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor e8group » Sex Mar 29, 2013 00:25

No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .
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Re: [limite polinomial] Problema com fatoração

Mensagempor ZANGARO » Sex Mar 29, 2013 01:10

santhiago escreveu:No caso (x+1)^4 não podemos utilizar o mesmo método para fatorar ,pelo seguintes motivos ,primeiro a sua forma fatorada que é (x+1)^4 que difere da mesma apresentada no post anterior .Segundo ,(x+1)^4 corresponde ao polinômio (obtido pelo Binômio de Newton )1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 que não é da forma x^n - a^n . Espero que não confundi você .

Só para acrescentar , se você dividir x^n - a^n por x -a e analisar o comportamento verá a forma fatorada de x^n - a^n a qual eu mencionei utilizando o somatório para não ter que escrever todas aquelas parcelas .

É muito difícil avaliar se certa propriedade satisfaz um exerício satisfará outro,cada um possui suas particularidades e podem ter mais possibilidades de propriedades resolventes .Quando digo propriedade pode ser , "artifício " algébrico ,proposições,teoremas, e etc .



A sim, entendi direito, muito obrigado pela ajuda. Estou tendo muitas dificuldades com limite polinomial.
Abraço!
ZANGARO
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.