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[Integral] Volume de Esfera

[Integral] Volume de Esfera

Mensagempor klueger » Ter Mar 19, 2013 13:58

Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?

O volume de um esfera de raio R é dado por V = \frac{4}{3}.pi.r^3.

Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio R é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência x^2+y^2=r^2.

Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera
klueger
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Re: [Integral] Volume de Esfera

Mensagempor e8group » Ter Mar 19, 2013 17:06

Solução :

x^2 + y^2 = r \iff y^2 = r^2 - x^2   , - r \leq   x \leq r .

V = \pi \int_{-r}^r y^2 dx = 2\pi \int_{0}^r(r^2 - x^2) dx


Tente concluir ...
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Re: [Integral] Volume de Esfera

Mensagempor nakagumahissao » Ter Mar 19, 2013 17:13

Resolução:

Demonstração:

Considere uma circunferência definida por:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

Considere ainda, que iremos 'rotacionar' em torno do eixo x apenas a parte do círculo situada no primeiro quadrante do gráfico, ou seja:

y  = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} e x =[0, r]

Como rotacionaremos apenas a parte do círculo do nosso primeiro quadrante, após termos calculado o volume da figura rotacionada no gráfico, teremos então que multiplicá-lo por 2 para termos o volume total. Desta maneira:

V = 2\pi\int_{0}^{r} \left[\sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \right]^{2} dx = 2\pi\int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} dx =
= 2\pi \left( \int_{0}^{r} r^{2} dx - \int_{0}^{r} x^{2} dx \right) = 2\pi\left(r^{3} - \frac{r^{3}}{3} \right) =
= 2\pi \left(\frac{3r^{3} - r^{3}}{3} \right)
V = \frac{4\pi r^{3}}{3}

Como queríamos demonstrar.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.