[Derivada] Função Implicita

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[Derivada] Função Implicita

Mensagempor fabriel » Sex Mar 15, 2013 13:27

Oi Pessoal estou com uma pequena duvida nesse exercicio:
Quero calcula a seguinte derivada da função implicita
tg(y)=xy
ai cheguei no seguinte:
\frac{d}{dx}\left(tg(y) \right)=\frac{d}{dx}\left(xy \right)
Ai cheguei nessa expressão:
{sec}^{2}y\frac{dy}{dx}=y+\frac{dy}{dx}x
ou
\frac{dy}{dx}=\frac{y+\frac{dy}{dx}x}{{sec}^{2}x}

mas ai não consigo sair dessa expressão, eu errei em algum calculo??
Obrigado!!
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Re: [Derivada] Função Implicita

Mensagempor e8group » Sex Mar 15, 2013 21:50

Usarei a seguinte notação D_x para derivada de primeira ordem com respeito a x . Somando-se - x \cdot D_x y em ambos membros ,obtemos

sec^2(y) D_x y - x \cdot D_x y = y ,deixando em evidência D_x y , segue


[sec^2(y) - x] D_x y = y ; logo ,

D_x y = \frac{y}{sec^2(y) - x} , sec^2(y) \neq x .
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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