• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Derivadas] Derivadas em pontos dados

[Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor MarlonMO250 » Sex Mar 01, 2013 21:02

Olá, tenho uma lista e estava resolvendo um exercicio usando a seguinte definição: f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}

no caso são 3 questões no exercicio pra resolver com essa definição, uma delas eu consegui resolver, peço ajuda sómente pra saber se esta certo :$

a)f(x)=2x^2-3x+4, e p=2
f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x+4-2(2)^2+3(2)-4}{x-2}
f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x+4-8+6-4}{x-2}
f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\frac{2x^2-3x}{x}=\frac{x(2x-3)}{x}=2x-3

nessa questão eu to em duvida se esta certo por isso espero que me respondam :y:

além dela também tem essa:

b)f(x)=\frac{3}{x^2}, e p=1

e essa

c)f(x)=\sqrt[3]{x}, e p=8

ambas eu não consegui resolver, agradeço a atenção de todos :-D
MarlonMO250
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 10
Registrado em: Dom Fev 03, 2013 11:16
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia de Computação
Andamento: cursando

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor Russman » Sex Mar 01, 2013 21:25

A definição de derivada que você está usando NÃO está errada. Porém, se você tomar x-p = h então teremos uma definição expressa de forma mais simples que, certamente o ajudará.

Veja que, fazendo isso, obtemos

f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim  }\frac{f(x) - f(x-h)}{h}.

Assim, se f(x) = 2x^2-3x+4, então

f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim  }\frac{2x^2-3x+4 - (2(x-h)^2 - 3(x-h)+4)}{h}
f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim  }\frac{2x^2-3x+4 - 2x^2+4xh-h^2+3x-3h-4}{h}

de onde, simplificando o que pode ser simplificado, obtemos

f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim  }\frac{4xh-h^2-3h}{h}.

Efetuando a divisão por h o limite se torna

f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim  }\left (4x-h-3  \right ),

e , finalmente, tomando h=0:

f'(x) = 4x-3

Para x=2: f'(2) = 4.2-3 = 8-3 = 5

Tente usar essa definição alternativa para resolver os outros casos!
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor felipeek » Sex Mar 01, 2013 22:00

f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\frac{2x^2-3x}{x}

esse passo está errado! você não pode simplesmente 'cortar' os -2. O correto seria:

f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)}

aí sim poderia cortar os (x-2)

abraços colega!
felipeek
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 9
Registrado em: Sex Mar 01, 2013 18:58
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: Engenharia de Computação
Andamento: cursando

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor MarlonMO250 » Sex Mar 01, 2013 23:07

russman, essa definição que você falou eu conheço, o problema é que a professora pediu na lista usando essa que eu falei *-)

felipeek, no caso a derivada não ficaria 2x+1, sendo que é 4x-3 :?:
MarlonMO250
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 10
Registrado em: Dom Fev 03, 2013 11:16
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia de Computação
Andamento: cursando

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor Russman » Sáb Mar 02, 2013 01:14

Bom, se a tua professora insiste em ir pelo caminho mais difícil...e bem mais difícil, eu diria.

f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{f(x)-f(p)}{x-p}

Substituindo a função, temos

f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{2x^2-3x+4-2p^2+3p-4}{x-p}
f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{2(x^2-p^2)-3(x-p)}{x-p} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\left [2\frac{(x^2-p^2)}{x-p}-\frac{3(x-p)}{(x-p)}  \right ]

de onde, simplificando e tomando \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}=2p,

f'(p) = 2.2p -3 = 4p-3.

Note que , em \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}, basta você multiplicar o limite por (x+p) no numerador e no denominador que você o resolve.

\underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}\frac{(x+p)}{(x+p)} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{(x^2-p^2)}(x+p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }(x+p) = 2p

Eu acredito que essa definição induza o aluno a utilizar técnicas de resolução de limite que não lhe cabe para derivar uma simples função polinomial.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor felipeek » Sáb Mar 02, 2013 02:55

MarlonMO250 escreveu:russman, essa definição que você falou eu conheço, o problema é que a professora pediu na lista usando essa que eu falei *-)

felipeek, no caso a derivada não ficaria 2x+1, sendo que é 4x-3 :?:


Você está fazendo confusão.

A derivada da função que você deu é sim 4x-3.

Note, entretanto, que você tentou resolver o exercício tomando p=2. No momento que você faz isso, você substitui todas as variáveis p da definição por 2 e x que tendia a p passa a tender a 2 (esse último você esqueceu de modificar ali no limite). O fato de você escolher um valor para a variável p faz você obter como o resultado não uma Função Derivada geral (que seria 4x-3) e sim o RESULTADO da derivada no ponto que você escolheu (no caso p=2). Se você quisesse obter como resultado 4x-3, você deveria ter calculado o limite sem assumir um valor para p. Aí sim, o resultado seria uma função derivada geral 4x-3 (no caso seria 4p-3) e aí sim você poderia substituir o x por 2 na função, obtendo a derivada no ponto x=2 que seria 5 (4*2-3 = 5).

O meu cálculo deu 2x+1 como resultado porque eu não terminei. Como x tendia a 2, o passo final seria substiuir o x por 2, obtendo como reposta final: 2(2)+1 = 5 . Ou seja, cinco é a derivada de x=2, ou ainda, 5 é a inclinação da reta tangente quando x=2. Obtemos direto o resultado de 5, sem obter a função derivada primeiro, pois assumimos direto p=2 no começo do exercicio (pensei que era assim que vc queria, pois foi vc mesmo que fez assim, na verdade, talvez seja isso mesmo que o exercicio quer)
felipeek
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 9
Registrado em: Sex Mar 01, 2013 18:58
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: Engenharia de Computação
Andamento: cursando

Re: [Derivadas] Derivadas em pontos dados

Mensagempor Russman » Sáb Mar 02, 2013 03:42

Acredito que o amigo felipeek tenha razão! Você tem de substituir imediatamente o valor de p no limite. Do contrário, como eu mostrei, você terá de utilizar técnicas de resolução de limite desnecessárias nessa etapa do conteúdo.

É bem verdade que, para f(x) = 2x^2-3x+4,

f'(2) = \underset{x\rightarrow 2}{\lim }\left (2x+1  \right ).

Veja que você está calculando a derivada def com relação a x em um ponto específico , e não em um ponto genérico x. Para este, sim, teríamos f'(x) = 4x - 3.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 27 visitantes

 



Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.