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Calcule o limite da sequência

Calcule o limite da sequência

Mensagempor Crist » Dom Fev 24, 2013 20:53

Preciso achar o limite da sequência e não estou conseguindo, acho que tenho que aplicar a regra de L' Hopital.
\left(\frac{ln (n+1)}{ln n} \right)
Alguém pode me ajudar?
Crist
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Re: Calcule o limite da sequência

Mensagempor Russman » Dom Fev 24, 2013 21:52

Fazendo o limite para n \to \infty obtemos \frac{\infty }{\infty }, que é uma indeterminação.

Aplicando L'Hopital,

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n+1)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n)}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{n}{n+1}  \right )

obtemos um novo limite que ainda calcula uma indeterminação. Dessa forma, devemos aplicar novamente L'Hopital. Fazendo isso resolvemos finalmente o limite.

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n+1}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{1}{1}  \right ) =1.

Portanto,

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}  \right ) = 1.
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Re: Calcule o limite da sequência

Mensagempor Russman » Dom Fev 24, 2013 21:52

Fazendo o limite para n \to \infty obtemos \frac{\infty }{\infty }, que é uma indeterminação.

Aplicando L'Hopital,

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n+1)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n)}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{n}{n+1}  \right )

obtemos um novo limite que ainda calcula uma indeterminação. Dessa forma, devemos aplicar novamente L'Hopital. Fazendo isso resolvemos finalmente o limite.

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n+1}  \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{1}{1}  \right ) =1.

Portanto,

\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)}  \right ) = 1.
"Ad astra per aspera."
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Re: Calcule o limite da sequência

Mensagempor Crist » Seg Fev 25, 2013 10:06

Obrigada, :)
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.