Calcule o limite da sequência

por **Crist** » Dom Fev 24, 2013 20:53

Preciso achar o limite da sequência e não estou conseguindo, acho que tenho que aplicar a regra de L' Hopital.
$\left(\frac{ln (n+1)}{ln n} \right)$
Alguém pode me ajudar?

por **Russman** » Dom Fev 24, 2013 21:52

Fazendo o limite para $n \to \infty$ obtemos $\frac{\infty }{\infty }$ , que é uma indeterminação.

Aplicando L'Hopital,

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n+1)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n)} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{n}{n+1} \right )$

obtemos um novo limite que ainda calcula uma indeterminação. Dessa forma, devemos aplicar novamente L'Hopital. Fazendo isso resolvemos finalmente o limite.

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n+1} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{1}{1} \right ) =1$ .

Portanto,

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)} \right ) = 1$ .

por **Russman** » Dom Fev 24, 2013 21:52

Fazendo o limite para $n \to \infty$ obtemos $\frac{\infty }{\infty }$ , que é uma indeterminação.

Aplicando L'Hopital,

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n+1)}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}\ln (n)} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{n}{n+1} \right )$

obtemos um novo limite que ainda calcula uma indeterminação. Dessa forma, devemos aplicar novamente L'Hopital. Fazendo isso resolvemos finalmente o limite.

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n}{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} n}n+1} \right ) = \underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{1}{1} \right ) =1$ .

Portanto,

$\underset{n \to \infty}{\lim } \left (\frac{\ln (n+1)}{\ln (n)} \right ) = 1$ .