• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Integral - centro de massa

Integral - centro de massa

Mensagempor marinalcd » Sáb Fev 23, 2013 18:12

Preciso calcular o centro de massa de uma placa fina com a forma D ={(x,y)\in\Re^{2}; x^{2}+4y^{2}\leq1, y\geq0},
se a densidade de cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo x.
Mas não estou conseguindo montar a integral. Podem me ajudar a montá-la?
marinalcd
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 143
Registrado em: Sex Abr 27, 2012 21:25
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: engenharia
Andamento: cursando

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor young_jedi » Dom Fev 24, 2013 14:21

se a densidade é proporcional a distancia ao eixo x então podemos dizer que ela é do tipo

k.y

assim a integral da densidade pela area nos fornece a massa

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy

então o calculo do centro de massa com relação ao eixo y sera

y_{c}=\frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y^2.dx.dy}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy}
young_jedi
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1239
Registrado em: Dom Set 09, 2012 10:48
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica - UEL
Andamento: formado

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor marinalcd » Seg Fev 25, 2013 11:05

A minha primeira dúvida é: como vou calcular o valor de k na integral?

Por que no cálculo do centro de massa, no numerador o y está ao quadrado e no denominador não?

Obrigada pela ajuda!
marinalcd
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 143
Registrado em: Sex Abr 27, 2012 21:25
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: engenharia
Andamento: cursando

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor young_jedi » Seg Fev 25, 2013 12:15

voce não precisa clacular o valor de k, trate ele como uma constante, no final ele vai ser simplificado

a integral do denominador é a integral de massa do objeto
e a integral do numerador, é a integral que calcula a distancia de cada quantidade de massa com relação ao exio y
young_jedi
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1239
Registrado em: Dom Set 09, 2012 10:48
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica - UEL
Andamento: formado

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor marinalcd » Seg Fev 25, 2013 23:59

Após resolver a primeira integral a substituir os limites de integração, fiquei com a integral

k \int 2y^{2} \sqrt[]{1-4y^{2}}dy

Eu ia fazer por substituição trigonométrica, mas como faço com o 2y²?
marinalcd
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 143
Registrado em: Sex Abr 27, 2012 21:25
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: engenharia
Andamento: cursando

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor Russman » Ter Fev 26, 2013 00:55

Usa coordenadas polares na integral! Bem mais simples...
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor marinalcd » Ter Fev 26, 2013 15:34

Realmente, por trigonométrica dá muito trabalho, fica uma conta muito grande e, talvez desnecessária.

Porém, eu já havia tentado fazer por coordenadas polares, mas também não consegui resolver. Não sei se montei errado ou não, mas não consegui chegar a algum lugar .

A integral que eu montei foi:k\int 2r^{2}(sen\theta)^{2} \sqrt{1+4r^{2}(sen\theta)^{2}}  .rdrd\theta

E não consegui sair daí, pois já tem a multiplicação e ainda tem raiz. Tive várias ideias, mas nenhuma com fundamento. Não sei como sair daí.
marinalcd
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 143
Registrado em: Sex Abr 27, 2012 21:25
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: engenharia
Andamento: cursando

Re: Integral - centro de massa

Mensagempor Man Utd » Qua Out 30, 2013 12:30

marinalcd escreveu:Realmente, por trigonométrica dá muito trabalho, fica uma conta muito grande e, talvez desnecessária.

Porém, eu já havia tentado fazer por coordenadas polares, mas também não consegui resolver. Não sei se montei errado ou não, mas não consegui chegar a algum lugar .

A integral que eu montei foi:k\int 2r^{2}(sen\theta)^{2} \sqrt{1+4r^{2}(sen\theta)^{2}}  .rdrd\theta

E não consegui sair daí, pois já tem a multiplicação e ainda tem raiz. Tive várias ideias, mas nenhuma com fundamento. Não sei como sair daí.


eu acho que se vc transformar essa integral \int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy

assim :

\\\\ x=r*cos\theta \\\\ 2y=r*sen\theta

calculando o jacobiano terá: \frac{r}{2} , então a nossa integral ficaria:

\\\\\\ k\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \frac{r*sen\theta}{2}*\frac{r}{2}drd\theta \\\\\\ k\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \frac{r^{2}*sen\theta}{4}drd\theta

calculando vc obterá a resposta. :)
Man Utd
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 155
Registrado em: Qua Abr 03, 2013 09:20
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia da Computação
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 27 visitantes

 



Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)