Integral - centro de massa

por **marinalcd** » Sáb Fev 23, 2013 18:12

Preciso calcular o centro de massa de uma placa fina com a forma $D ={(x,y)\in\Re^{2}; x^{2}+4y^{2}\leq1, y\geq0}$ ,
se a densidade de cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo x.
Mas não estou conseguindo montar a integral. Podem me ajudar a montá-la?

por **young_jedi** » Dom Fev 24, 2013 14:21

se a densidade é proporcional a distancia ao eixo x então podemos dizer que ela é do tipo

k.y

assim a integral da densidade pela area nos fornece a massa

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy$

então o calculo do centro de massa com relação ao eixo y sera

$y_{c}=\frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y^2.dx.dy}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy}$

por **marinalcd** » Seg Fev 25, 2013 11:05

A minha primeira dúvida é: como vou calcular o valor de k na integral?

Por que no cálculo do centro de massa, no numerador o y está ao quadrado e no denominador não?

Obrigada pela ajuda!

por **young_jedi** » Seg Fev 25, 2013 12:15

voce não precisa clacular o valor de k, trate ele como uma constante, no final ele vai ser simplificado

a integral do denominador é a integral de massa do objeto
e a integral do numerador, é a integral que calcula a distancia de cada quantidade de massa com relação ao exio y

por **marinalcd** » Seg Fev 25, 2013 23:59

Após resolver a primeira integral a substituir os limites de integração, fiquei com a integral

$k \int 2y^{2} \sqrt[]{1-4y^{2}}dy$

Eu ia fazer por substituição trigonométrica, mas como faço com o 2y²?

por **Russman** » Ter Fev 26, 2013 00:55

Usa coordenadas polares na integral! Bem mais simples...

por **marinalcd** » Ter Fev 26, 2013 15:34

Realmente, por trigonométrica dá muito trabalho, fica uma conta muito grande e, talvez desnecessária.

Porém, eu já havia tentado fazer por coordenadas polares, mas também não consegui resolver. Não sei se montei errado ou não, mas não consegui chegar a algum lugar .

A integral que eu montei foi: $k\int 2r^{2}(sen\theta)^{2} \sqrt{1+4r^{2}(sen\theta)^{2}} .rdrd\theta$

E não consegui sair daí, pois já tem a multiplicação e ainda tem raiz. Tive várias ideias, mas nenhuma com fundamento. Não sei como sair daí.

por **Man Utd** » Qua Out 30, 2013 12:30

marinalcd escreveu:Realmente, por trigonométrica dá muito trabalho, fica uma conta muito grande e, talvez desnecessária.

Porém, eu já havia tentado fazer por coordenadas polares, mas também não consegui resolver. Não sei se montei errado ou não, mas não consegui chegar a algum lugar .

A integral que eu montei foi: $k\int 2r^{2}(sen\theta)^{2} \sqrt{1+4r^{2}(sen\theta)^{2}} .rdrd\theta$

E não consegui sair daí, pois já tem a multiplicação e ainda tem raiz. Tive várias ideias, mas nenhuma com fundamento. Não sei como sair daí.

eu acho que se vc transformar essa integral $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}}k.y.dx.dy$

assim :

$\\\\ x=r*cos\theta \\\\ 2y=r*sen\theta$

calculando o jacobiano terá: $\frac{r}{2}$ , então a nossa integral ficaria:

$\\\\\\ k\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \frac{r*sen\theta}{2}*\frac{r}{2}drd\theta \\\\\\ k\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \frac{r^{2}*sen\theta}{4}drd\theta$

calculando vc obterá a resposta.