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Integral polar

Integral polar

Mensagempor Aniinha » Qui Fev 14, 2013 17:25

Oi gente, me tirem uma dúvida :
A questão pede pra calcular a integral usando coordenadas polares.

\int\limits_{0}^4 \int\limits_{0}^\sqrt{4y-y^2} x^2+y^2 dxdy

Eu achei intervalo 0\leq r\leq 4 e 0\leq O\leq pi/2

mas qnd integro , o resultado da 32pi e não 12pi que é a resposta :/
Me ajudem se o intervalo estiver errado pf !
Obrigada !
Aniinha
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Re: Integral polar

Mensagempor young_jedi » Sex Fev 15, 2013 20:47

analisando a integral vemos que o intervalo em x é determinado por

x=0

e

x=\sqrt{4y-y^2}

dessa equação tiramos

x^2=4y-y^2

x^2+4=4y-y^2+4

x^2+y^2-4y+4=4

x^2+(y-2)^2=2^2

isso corresponde a semicirulo de raio 2 com centro em (0,2)

portanto nos temos que

x=r.cos(\theta)

y=r.sen(\theta)

então

(r.cps(\theta))^2+(r.sen(\theta)-2)^2=2^2

r^2.cos^(\theta)+r^2.sen^2(\theta)-4r.sen(\theta)+4=4

r^2(cos^2(\theta)+sen^(\theta))-4r.sen(\theta)=0

r^2-4r.sen(\theta)=0

r^2=4r.sen(\theta)

r=4.sen(\theta)

portanto a integral fica

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{4.sen(\theta)}r^2.r.dr.d\theta

tente resolver e comente as duvidas
young_jedi
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Re: Integral polar

Mensagempor Aniinha » Dom Fev 17, 2013 22:55

Perfeito, encontrei ... muito obrigada young ! (y)
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Re: Integral polar

Mensagempor Aniinha » Seg Fev 18, 2013 21:39

Ah só uma observação : Se é um semicirculo pq o angulo é pi/2, e não pi ?
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Re: Integral polar

Mensagempor young_jedi » Seg Fev 18, 2013 23:09

porque é um semi-circulo que esta centrado no ponto (0,2), esta no primeiro quadrante
ou seja o angulo varia de 0 até pi/2

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Re: Integral polar

Mensagempor Aniinha » Ter Fev 19, 2013 00:17

Ah sim, entendi perfeitamente ... Muito obrigada !
Até a próxima ^^
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.