Ajuda Matemática

Enviado: **Seg Jan 28, 2013 10:13**

Tenho dúvida em como achar o seguinte limite:

$\lim_{x\to\infty} cosx. sen\left( \frac{\sqrt[]{x+1}-\sqrt[]{x}}{x}\right)$

Poderiam me ajudar a resolver?

Desde já, obrigada!

Enviado: **Ter Jan 29, 2013 00:20**

Boa noite .
Veja que $\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}$ . Porém o limite só ocorrerá quando $x \to + \infty$ devido ao domínio da função .

Assim , $\lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )$

Como $\lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = sin(0) = 0$ .

Então : $\lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0 = 0$

Enviado: **Ter Jan 29, 2013 14:20**

santhiago escreveu:Boa noite .
Veja que $\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}$ . Porém o limite só ocorrerá quando $x \to + \infty$ devido ao domínio da função .

Assim , $\lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )$

Como $\lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = sin(0) = 0$ .

Então : $\lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0 = 0$

Muito Obrigada, entendi perfeitamente!

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[Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinito

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