[Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinito

por **Ge_dutra** » Seg Jan 28, 2013 10:13

Tenho dúvida em como achar o seguinte limite:

$\lim_{x\to\infty} cosx. sen\left( \frac{\sqrt[]{x+1}-\sqrt[]{x}}{x}\right)$

Poderiam me ajudar a resolver?

Desde já, obrigada!

por **e8group** » Ter Jan 29, 2013 00:20

Boa noite .
Veja que $\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}$ . Porém o limite só ocorrerá quando $x \to + \infty$ devido ao domínio da função .

Assim , $\lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )$

Como $\lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = sin(0) = 0$ .

Então : $\lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0 = 0$

por **Ge_dutra** » Ter Jan 29, 2013 14:20

santhiago escreveu:Boa noite .
Veja que $\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}$ . Porém o limite só ocorrerá quando $x \to + \infty$ devido ao domínio da função .

Assim , $\lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )$

Como $\lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = sin(0) = 0$ .

Então : $\lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty} sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0 = 0$

Muito Obrigada, entendi perfeitamente!