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[Limites] Exponencial

[Limites] Exponencial

Mensagempor Marlon Teofilo » Ter Jan 22, 2013 14:23

Oi boa tarde.

Estou com dificuldades em resolver um limite.

é o seguinte:

\lim_{\infty}{(\frac{x+1}{x-1})}^{2x}

entao, iniciei separando em duas frações, ambas com demoninador (x-1), fazendo os limites separados.

\lim_{\infty}{(\frac{x}{x-1})}^{2x} + \lim_{\infty}{(\frac{1}{x-1})}^{2x}

O segundo termo cheguei à conclusão que é 1/infinito=0

O primeiro termo conclui que a resposta do limite é e^2, após mudar a base e todo aquele processo de sempre, hehehehe, gostaria de saber se está correto, pois desconfio que não! kkkkkkkk
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Re: [Limites] Exponencial

Mensagempor e8group » Ter Jan 22, 2013 17:43

Cuidado!

\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x}  \neq  \left( \frac{x}{x-1}\right)^{2x}  + \left( \frac{1}{x-1}\right)^{2x}


Como dica note que , \frac{x + 1}{x-1} =  1  + \frac{2}{x-1} .

Logo , \left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} =  \left( 1 +  \frac{2}{x-1}\right)^{2x}

e portanto , \lim_{x\to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1} \right )^{2x}  = \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x} .

Além disso , tomando w =  \frac{2}{x-1} .Quando x \to \infty  , w \to 0 .Fazendo as substituições ,

\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x}  =  \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}

Usando as propriedades a^{b+c} = a^b \cdot a^c e a^{b\cdot c} = \left(a^{b}\right)^{c} e também dos limites, uma delas do produto .

Segue então : \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}  =  \left[\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{1/w }\right]^4 \cdot \lim_{w\to 0} (1 + w) = e^4 .

Obs.: Para compreender a resolução veja os limites fundamentais em especial o limite fundamental que denomina-se o número Euler . Para ler mais , http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler .
e8group
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Re: [Limites] Exponencial

Mensagempor Marlon Teofilo » Ter Jan 22, 2013 18:01

Obrigado, minha duvida realmente era se eu utilizei a propriedade de forma correta, e errei hehehehe

vlw mano, entendi!!!
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Re: [Limites] Exponencial

Mensagempor lyppeferreira_ » Sáb Abr 04, 2020 15:33

e8group escreveu:Cuidado!

\left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x}  \neq  \left( \frac{x}{x-1}\right)^{2x}  + \left( \frac{1}{x-1}\right)^{2x}


Como dica note que , \frac{x + 1}{x-1} =  1  + \frac{2}{x-1} .

Logo , \left( \frac{x + 1}{x-1}\right)^{2x} =  \left( 1 +  \frac{2}{x-1}\right)^{2x}

e portanto , \lim_{x\to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1} \right )^{2x}  = \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x} .

Além disso , tomando w =  \frac{2}{x-1} .Quando x \to \infty  , w \to 0 .Fazendo as substituições ,

\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2}{x-1} \right ) ^{2x}  =  \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}

Usando as propriedades a^{b+c} = a^b \cdot a^c e a^{b\cdot c} = \left(a^{b}\right)^{c} e também dos limites, uma delas do produto .

Segue então : \lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{2 \cdot \frac{2}{w} + 1}  =  \left[\lim_{w\to 0} \left(1 + w \right ) ^{1/w }\right]^4 \cdot \lim_{w\to 0} (1 + w) = e^4 .

Obs.: Para compreender a resolução veja os limites fundamentais em especial o limite fundamental que denomina-se o número Euler . Para ler mais , http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler .



Como você chegou nessa \frac{x + 1}{x-1} =  1  + \frac{2}{x-1}
Tô travado nessa passagem. Eu tentei pela propriedade do quociente dos limites, mas não cheguei nesse resultado que vc conseguiu.
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Re: [Limites] Exponencial

Mensagempor adauto martins » Dom Abr 05, 2020 11:20

...(x+1)/(x-1)=x/(x-1)+1/(x-1)=((x-1)+1)/(x-1)+1/(x-1)


=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)+1/(x-1)=1+1/(x-1)+1/(x-1)=1+2/(x-1)
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.