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[Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

[Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

Mensagempor Ronaldobb » Seg Dez 17, 2012 16:24

1. \int_{}^{}\frac{dx}{2+2\sqrt[]{x}}

Minhas contas:

u=\sqrt[]{x}; \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}; du=\frac{1}{2\sqrt[]{x}}dx; 2\sqrt[]{x}du=dx

=\int_{}^{}\frac{2u}{2+2u}du

=2\int_{}^{}\frac{u}{2+2u}du

Cheguei até aí em cima, e não consegui desenvolver mais a conta, pois estão me faltando conhecimentos. Fui no Wolfram e ele me deu o seguinte resultado:

=2\int_{}^{}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(u+1)} \right)du

De onde saiu esse sinal de negativo no integrando? e pra onde fou o u que estava no numerador?

=2\int_{}^{}\frac{1}{2}du-\int_{}^{}\frac{1}{u+1}du

E depois parece que o Wolfram fez mais outra substuição:

s=u+1; ds=du

=2\int_{}^{}\frac{1}{2}du-\int_{}^{}\frac{1}{s}ds

Aí fica fácil resolver, usando a tabela...

Poderiam me ajudar a entender essa substituição? Principalmente na parte em que aparece um sinal de negativo no integrando?
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Re: [Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

Mensagempor young_jedi » Ter Dez 18, 2012 10:33

quando voce tem

\frac{2u}{2+2u}

voce tem que aplicar um conceito chamado frações parciais, se voce ainda não viu é melhor dar uma pesquisada e estudar
mais em todo quase essa expressão pode ser desenvolvida assim

\frac{2u}{2+2u}=\frac{2u+2-2}{2+2u}

somando e subtraindo 2 na expressão eu não altero o seu valor

e ainda pode se separar ela

\frac{2u+2-2}{2+2u}=\frac{2u+2}{2u+2}-\frac{2}{2+2u}


simplificando ainda mais

\frac{2u+2}{2u+2}-\frac{2}{2+2u}=1-\frac{1}{1+u}

substituindo na integral

\int\left(1-\frac{1}{1+u}\right)du

\int du-\int\frac{1}{1+u}du
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Re: [Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

Mensagempor Ronaldobb » Ter Dez 18, 2012 12:14

Faço Administração, e na ementa de Cálculo I pra Administração não tem a matéria de Frações Parciais e a professora falou que nem iria ensinar para nós.

Teria um modo de fazer essa integral sem usar frações parciais?
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Re: [Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

Mensagempor young_jedi » Ter Dez 18, 2012 13:45

voce pode fazer

u=2+2\sqrt x

du=\frac{2}{2}\frac{1}{\sqrt x}dx

\sqrt{x}du=dx

\frac{2\sqrt x}{2}du=dx

\frac{-2+2+2\sqrt x}{2}du=dx

\frac{u-2}{2}du=dx

substituindo

\int\left( \frac{u-2}{2u}\right)du

\int\left( \frac{-2}{2u}\right)du+\int\left( \frac{u}{2u}\right)du

-\int\frac{1}{u}du+\int \frac{1}{2}du
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Re: [Integração por substituição] Passo a passo, por favor?

Mensagempor Ronaldobb » Ter Dez 18, 2012 13:50

Obrigado
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}