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Limite

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Mensagempor matmatco » Dom Dez 16, 2012 09:15

não estou conseguindo sair dessa raiz ja substitui x= u³ mas minha resposta não bate com a do livro, qual é o meu erro?
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 10:06

Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}), então desenvolver o numerador, o que encontra?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 10:58

Fraol, sua sugestão não resolve. Multiplique e divida por x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}. Então (x^{\frac{1}{3}} - 3^{\frac{1}{3}}) \cdot (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{2}{3}}) = x -3, que poderá ser simplificado com o denominador.
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 12:35

Olá MarceloFantini

fraol escreveu:Bom dia,

Você já tentou multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}), então desenvolver o numerador, o que encontra?

.


Quando escrevi isso tentava mostrar que o numerador é zero, para qualquer x, o que é obvio e nem precisava desse algebrismo pois (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x}) = 0 sempre, certo?
Se assim o for, esse limite é 0, concorda?


Por outro lado, a manipulação algébrica que você propôs é válida, e nesse caso o limite não é zero, se não errei as contas.

Qual é a sua conjectura a respeito?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 16:03

Começa que você não pode fazer isso pois você estaria dividindo por zero, então sua sugestão deixa de ser válida a partir disso. Sim, o limite é diferente de zero.
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 16:14

Sim, não podemos dividir por zero. Mas eu ainda não substitui o x por 3. Apenas estou simplificando o numerador para depois partir para o cálculo do limite.

Note que na função original o domínio é R\{3}. Então existe f(1), f(2), f(4) e infinitos outros e todos eles são iguais a zero. Então afirmo que o limite é 0.

Por exemplo, qual é o valor de f(1) nessa fatoração/simplificação que você sugere?

.
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Re: Limite

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 16, 2012 17:32

A função que propos, \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x} é a função identicamente nula, pois ela é zero em todos os pontos. Novamente, você está essencialmente multiplicando tudo por zero e dizendo que o resultado é zero. Ora, por esse raciocínio então o limite \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}} é zero, pois multiplicando e dividindo \sqrt{x}-\sqrt{x} teremos que o limite é zero.

Vou tornar a pergunta para você: por que multiplicar por isto? Qual é o seu argumento para multiplicar tudo por zero, alterar completamente o limite e portanto afirmar que é zero?
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 17:46

Eu não multipliquei por 0, nem propus uma nova função. Eu, apenas, estou sugerindo que simplifiquemos o numerador e depois vamos ao cálculo do limite, como normalmente fazemos. Você chegou a verificar os valores de f(x) para x diferente de 3 na função original proposta pelo nosso colega?
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Re: Limite

Mensagempor fraol » Dom Dez 16, 2012 17:52

Opa, desculpe, reli agora o enunciado e vi que trata-se de \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3} no numerador.
Logo ignorem minhas considerações anteriores. Vou ao oculista o mais breve possível ...
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.