[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

por **jonaskessinger** » Qui Dez 13, 2012 18:16

Boa tarde...
Tenho a duvida da função abaixo, preciso saber como chegar nos pontos criticos (são 4, conforme mostrei abaixo):

Função:
f(x,y) = xy(1-x-y) = xy - x²y-xy²

derivando em x e y:
==> f[x] = y-2xy - y² = y(1-2x-y) = 0
e
==> f[y] = x-2xy - x² = x(1-x-2y) = 0

Resolvendo o sistema acima, temos os pontos criticos:
(i) (0,0)
{ii) (1,0)
(iii) (0,1)
(iv) (1/3, 1/3)

A questão é...como chegar até esses pontos? Obrigado desde já!

por **Russman** » Qui Dez 13, 2012 19:35

O que você entende por "Resolvendo o sistema acima" ? Ora, você tem duas equações e duas incógnitas. Basta que você as manipule e isole o devido valor de cada uma!

Sistema:

$\left\{\begin{matrix} y(1-2x-y)=0\\ x(1-x-2y)=0 \end{matrix}\right.$

Claramente (x,y) = (0,0)

é solução. Agora, tomando

e

não nulos podemos dividir a 1° equação por

e a 2° por

de forma que nos resta um sistema de Primeiro Grau:

$\left\{\begin{matrix} 1-2x-y=0\\ 1-x-2y=0 \end{matrix}\right.$

Isolando

na 1° equação, y = 1-2x

, e aplicando na 2°, temos

$1-x-2y=0 \Rightarrow 1-x-2(1-2x) = 0 \Rightarrow 1-x-2+4x=0 \Rightarrow -1+3x=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$ .

Com esse valor de

temos para