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[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

[Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

Mensagempor jonaskessinger » Qui Dez 13, 2012 18:16

Boa tarde...
Tenho a duvida da função abaixo, preciso saber como chegar nos pontos criticos (são 4, conforme mostrei abaixo):

Função:
f(x,y) = xy(1-x-y) = xy - x²y-xy²

derivando em x e y:
==> f[x] = y-2xy - y² = y(1-2x-y) = 0
e
==> f[y] = x-2xy - x² = x(1-x-2y) = 0

Resolvendo o sistema acima, temos os pontos criticos:
(i) (0,0)
{ii) (1,0)
(iii) (0,1)
(iv) (1/3, 1/3)


A questão é...como chegar até esses pontos? Obrigado desde já!
jonaskessinger
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Re: [Pontos críticos - Derivadas] Ajuda com pontos críticos

Mensagempor Russman » Qui Dez 13, 2012 19:35

O que você entende por "Resolvendo o sistema acima" ? Ora, você tem duas equações e duas incógnitas. Basta que você as manipule e isole o devido valor de cada uma!

Sistema:

\left\{\begin{matrix}
y(1-2x-y)=0\\ 
x(1-x-2y)=0
\end{matrix}\right.

Claramente (x,y) = (0,0) é solução. Agora, tomando x e y não nulos podemos dividir a 1° equação por y e a 2° por x de forma que nos resta um sistema de Primeiro Grau:

\left\{\begin{matrix}
1-2x-y=0\\ 
1-x-2y=0
\end{matrix}\right.

Isolando y na 1° equação, y = 1-2x, e aplicando na 2°, temos

1-x-2y=0 \Rightarrow 1-x-2(1-2x) = 0 \Rightarrow 1-x-2+4x=0 \Rightarrow  -1+3x=0 \Rightarrow  x=\frac{1}{3}.

Com esse valor de x temos para y, então: y = 1-2x= 1-2(\frac{1}{3}) = 1\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Assim, o outro ponto solução é (x,y) = (\frac{1}{3} , \frac{1}{3}).
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}