[Integrais Multiplas] Volume do solido

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[Integrais Multiplas] Volume do solido

Mensagempor brunojorge29 » Ter Nov 27, 2012 01:55

Qual o volume do solido da interseção dos cilindros pelas funções {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2} e [tex]{x}^{z}+{z}^{z}={a}^{z} coma\neq0.
Anexos
calculo 3.png
Editado pela última vez por brunojorge29 em Ter Nov 27, 2012 09:00, em um total de 1 vez.
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Re: [Integrais Multiplas] Volume do solido

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 27, 2012 06:50

Bruno, digite todo o enunciado do exercício. Use figuras apenas se estritamente necessário. Use LaTeX para redigir suas equações. Seu tópico não deverá ser respondido até estar de acordo com as regras.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [Integrais Multiplas] Volume do solido

Mensagempor Guilherme Pimentel » Seg Jan 13, 2014 09:05

Sua região será:

\\ -a\leq x \leq a, \\ \\ x^2+y^2\leq a^2\Rightarrow -\sqrt{a^2-x^2}\leq y \leq \sqrt{a^2-x^2},\\ \\ x^2+z^2\leq a^2\Rightarrow -\sqrt{a^2-x^2}\leq z \leq \sqrt{a^2-x^2}

logo teremos:

\\ V = \int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}}\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}}dz\,dy\,dx = \int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}}2\sqrt{a^2-x^2}\,dy\,dx ,\\

\\ V= \int_{-a}^{a}4(a^2-x^2)\,dx=4\left[ a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-a}^{a} = \frac{16 \, a^3}{3}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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