Máximo e mínimo com duas Variáveis

por **rhmgh** » Sáb Nov 24, 2012 08:19

o prof deu esse e alguns outro exercícios para estudar em casa, esse eu estou com dificuldade para fazer porque depois que eu derivo em relação a x e a y faço o sistema e somo as duas equações está dando x = y e ai eu não consigo descobrir a discriminante será que alguém consegue me ajudar?

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 24, 2012 15:55

Você poderia mostrar suas contas? Não necessariamente está errado, pela sua descrição parece que faltam algumas contas.

por **rhmgh** » Sáb Nov 24, 2012 23:25

posso sim, vamos lá

dz/dx = 4x^3 - 4x - 4y

somei as 2, deu:

4x^3 - 4y^3 = 0

$x = \sqrt{y^3}$ (aqui é raiz cubica ta, eu não consegui fazer o simbolo)

e ai vai ficar:

x = y

fazendo as derivadas de segunda ordem:

dz^2/dx^2 = 12x^2 - 4

= A

= C

=B

eu travei aqui, não sei como continuar

por **MarceloFantini** » Dom Nov 25, 2012 19:30

Vamos lá. Primeiro, vamos corrigir sua notação: a que usou significa derivada total, enquanto a correta para derivadas parciais é $\frac{\partial f}{\partial x}$ . Então

$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 -4x -4y = 0, \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 4y^3 -4x -4y =0. \end{cases}$

Subtraindo você encontrou que x=y

. Substituindo na primeira equação vem 4x^3 -4x -4x = 4(x^3 -2)=0

, logo $x = y = \sqrt[3]{2}$ e o par $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$ talvez seja máximo ou mínimo.

Calculando as derivadas de segunda ordem temos

$\begin{cases} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12x^2 -4, \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12y^2 -4, \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4. \end{cases}$

Logo o Hessiano será $H(x,y) = (12x^2 -4) \cdot (12y^2 -4) - (-4)^2$ . Substituindo o ponto $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$ temos que $H(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}) > 0$ , portanto um ponto de mínimo local.

por **rhmgh** » Ter Nov 27, 2012 08:52

MarceloFantini escreveu:

não entendi aqui! :S

por **MarceloFantini** » Ter Nov 27, 2012 19:09

Note que

4x^3 -4x -4x = 4x^3 - 8x = 4(x^3 -2) = 0

. Eu apenas pulei uma passagem.

por **rhmgh** » Ter Nov 27, 2012 23:00

MarceloFantini escreveu:Note que . Eu apenas pulei uma passagem.

ahhhhhh tahh, e também agora que eu percebi que como o x = y você subsituiu ali, não tinha pensado assim ... dããã ... kkk

valeu cara, muito obrigado!