[CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 04:22

MOSTRE QUE AS CURVAS $e^t, e^{2t}, 1-e^{-t}$ E $(1-, cos\theta, sen\theta)$ SE INTERSECTAM NO PONTO (1,1,0). DETERMINE AS EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES ÀS CURVAS EM (1,1,0) E VERIFIQUE QUE ELAS SÃO ORTOGONAIS.

Não consegui mostrar que elas se intersectam neste ponto.. alguém poderia me auxiliar?

Quanto ao resto do exercício, basta eu encontrar suas derivadas no ponto e verificar se o produto escalar entre elas é nulo?

Desde já, agradeço as respostas!!

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 10:02

Tome

nas duas curvas. Então na primeira você terá $(e^0, e^{2 \cdot 0}, 1 - e^{-0}) = (1, 1, 0)$ , enquanto que na segunda terá

. Logo elas se interseccionam em t=0

.

Para resolver a segunda parte é só fazer o que disse: calcular a derivada e fazer o produto escalar. Verá que é nulo.

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 11:58

Tem razão, MarceloFantini. Tenho que agradecer pela sua ajuda, novamente :-D

mas uma coisa ainda me intriga. t=0 talvez seja um valor 'óbvio', ou no mínimo razoável de se testar. mas e se fosse um t =/= 0, algo que não desse para se perceber assim, 'de cara', haveria algum método algébrico de se chegar neste valor de t?

grande abraço!!

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 12:15

Não tem nada de especial por ser t=0

. Em geral para encontrar a interseção igualamos os vetores, logo

$\begin{cases} e^t = 1, \\ e^{2t} = \cos t, \\ 1 - e^{-t} = \sin t. \end{cases}$

A solução desse sistema dará o instante em que a interseção ocorre, bastando substituir em uma delas para encontrar o ponto.

A questão é que se não for tão óbvio, muito provável serão necessários métodos numéricos para encontrar, isto se a interseção existir.