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[CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

[CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 04:22

MOSTRE QUE AS CURVAS e^t, e^{2t}, 1-e^{-t} E (1-, cos\theta, sen\theta) SE INTERSECTAM NO PONTO (1,1,0). DETERMINE AS EQUAÇÕES DAS RETAS TANGENTES ÀS CURVAS EM (1,1,0) E VERIFIQUE QUE ELAS SÃO ORTOGONAIS.


Não consegui mostrar que elas se intersectam neste ponto.. alguém poderia me auxiliar?

Quanto ao resto do exercício, basta eu encontrar suas derivadas no ponto e verificar se o produto escalar entre elas é nulo?

Desde já, agradeço as respostas!!
inkz
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Re: [CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 20, 2012 10:02

Tome t=0 nas duas curvas. Então na primeira você terá (e^0, e^{2 \cdot 0}, 1 - e^{-0}) = (1, 1, 0), enquanto que na segunda terá (1, 1, 0). Logo elas se interseccionam em t=0.

Para resolver a segunda parte é só fazer o que disse: calcular a derivada e fazer o produto escalar. Verá que é nulo.
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Re: [CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 11:58

Tem razão, MarceloFantini. Tenho que agradecer pela sua ajuda, novamente :-D

mas uma coisa ainda me intriga. t=0 talvez seja um valor 'óbvio', ou no mínimo razoável de se testar. mas e se fosse um t =/= 0, algo que não desse para se perceber assim, 'de cara', haveria algum método algébrico de se chegar neste valor de t?

grande abraço!!
inkz
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Re: [CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 20, 2012 12:15

Não tem nada de especial por ser t=0. Em geral para encontrar a interseção igualamos os vetores, logo

\begin{cases}
e^t = 1, \\
e^{2t} = \cos t, \\
1 - e^{-t} = \sin t.
\end{cases}

A solução desse sistema dará o instante em que a interseção ocorre, bastando substituir em uma delas para encontrar o ponto.

A questão é que se não for tão óbvio, muito provável serão necessários métodos numéricos para encontrar, isto se a interseção existir.
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Re: [CURVAS] Equação da reta tangente e ortogonalidade

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 12:34

hmm, agora me esclareceu, Marcelo :-D

obrigado por todas as respostas :y: :y: :y:


o detalhe é que eu jamais conseguiria resolver um sistema desses *-) *-)
inkz
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.