[CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 01:24

UMA PARTICULA MOVE-SE NO PLANO DE TAL FORMA QUE SUA POSIÇÃO NO INSTANTE t É DADA POR:

C(t) = (e^t cos t , e^t sen t)

DEMONSTRE QUE O VETOR TANGENTE À TRAJETÓRIA FAZ UM ÂNGULO CONSTANTE DE pi/4 COM O VETOR POSIÇÃO.

Minha tentativa:

Sei que o vetor tangente a trajetória é a derivada de C(t), então foi o que fiz, chegando em:

C'(t) = ( e^t (cost - sent), e^t (sent + cost) )

( e^t (cost - sent), e^t (sent + cost) )

Tenho então o vetor tangente a trajetória. Agora como provo que o angulo entre ele e o vetor posição é pi/4??

Desde já, agradeço!! :-D

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 01:41

Lembre-se que pelo produto escalar sabemos que

$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|}$ ,

ou seja, o ângulo entre dois vetores é igual ao seu produto escalar dividido pelo produto das normas.

Neste caso, temos que a norma de C(t)

é

. Calcule

$\sqrt{e^{2t} (\cos t - \sin t)^2 + e^{2t} (\sin t + \cos t)^2}$

e

$(e^t \cos t) \cdot (e^t (\cos t - \sin t)) + (e^t \sin t) \cdot (e^t (\sin t + \cos t) )$ ,

que são a norma de C'(t)

e o produto escalar $C(t) \cdot C'(t)$ respectivamente, e substitua na equação.

Ao simplificar as contas o resultado deve ser $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 01:55

MarceloFantini, primeiramente, gostaria de agradecer pela resposta.

Eu pensei exatamente em fazer isso, mas veja, todas as componentes de C e de C' estão em função de t, ou seja, não tem valor numérico.. como pode então essa simplificação terminar em um valor numérico?

por **MarceloFantini** » Ter Nov 20, 2012 02:10

Note que

$\sqrt{e^{2t} (\cos t - \sin t)^2 + e^{2t} (\sin t + \cos t)^2}$

$= e^t \sqrt{ \cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t }$

$= e^t \sqrt{2}$ ,

logo $|C(t)| \cdot |C'(t)| = e^t \cdot e^t \cdot \sqrt{2}$ .

Na segunda conta temos

$(e^t \cos t) \cdot (e^t (\cos t - \sin t)) + (e^t \sin t) \cdot (e^t (\sin t + \cos t) )$

$= e^{2t} (\cos^2 - \sin t \cos t + \sin^2 + \sin t \cos t )$

$= e^{2t} (1)$ .

Portanto,

$\cos \theta = \frac{C(t) \cdot C'(t)}{|C(t)| \cdot |C'(t)|} = \frac{e^{2t}}{e^{2t} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Bastava você ter expandido e simplificado. É falta de hábito mesmo, não é tão difícil.

por **inkz** » Ter Nov 20, 2012 02:13

de fato!!
vou terminar um exercício que estou fazendo aqui e refazer todos estes que postei aqui, em todas suas minúcias.

muito obrigado pela ajuda!! :y: