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[CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

[CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 01:24

UMA PARTICULA MOVE-SE NO PLANO DE TAL FORMA QUE SUA POSIÇÃO NO INSTANTE t É DADA POR:

C(t) = (e^t cos t ,  e^t sen t)

DEMONSTRE QUE O VETOR TANGENTE À TRAJETÓRIA FAZ UM ÂNGULO CONSTANTE DE pi/4 COM O VETOR POSIÇÃO.

Minha tentativa:

Sei que o vetor tangente a trajetória é a derivada de C(t), então foi o que fiz, chegando em:

C'(t) = ( e^t (cost - sent),  e^t (sent + cost) )

Tenho então o vetor tangente a trajetória. Agora como provo que o angulo entre ele e o vetor posição é pi/4??

Desde já, agradeço!! :-D
inkz
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Re: [CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 20, 2012 01:41

Lembre-se que pelo produto escalar sabemos que

\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|},

ou seja, o ângulo entre dois vetores é igual ao seu produto escalar dividido pelo produto das normas.

Neste caso, temos que a norma de C(t) é e^t. Calcule

\sqrt{e^{2t} (\cos t - \sin t)^2 + e^{2t} (\sin t + \cos t)^2}

e

(e^t \cos t) \cdot (e^t (\cos t - \sin t)) + (e^t \sin t) \cdot (e^t (\sin t + \cos t) ),

que são a norma de C'(t) e o produto escalar C(t) \cdot C'(t) respectivamente, e substitua na equação.

Ao simplificar as contas o resultado deve ser \frac{1}{\sqrt{2}}.
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Re: [CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 01:55

MarceloFantini, primeiramente, gostaria de agradecer pela resposta.

Eu pensei exatamente em fazer isso, mas veja, todas as componentes de C e de C' estão em função de t, ou seja, não tem valor numérico.. como pode então essa simplificação terminar em um valor numérico?
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Re: [CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor MarceloFantini » Ter Nov 20, 2012 02:10

Note que

\sqrt{e^{2t} (\cos t - \sin t)^2 + e^{2t} (\sin t + \cos t)^2}

= e^t \sqrt{ \cos^2 t - 2 \sin t \cos t + \sin^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t }

= e^t \sqrt{2},

logo |C(t)| \cdot |C'(t)| = e^t \cdot e^t \cdot \sqrt{2}.

Na segunda conta temos

(e^t \cos t) \cdot (e^t (\cos t - \sin t)) + (e^t \sin t) \cdot (e^t (\sin t + \cos t) )

= e^{2t} (\cos^2 - \sin t \cos t + \sin^2 + \sin t \cos t )

= e^{2t} (1).

Portanto,

\cos \theta = \frac{C(t) \cdot C'(t)}{|C(t)| \cdot |C'(t)|} = \frac{e^{2t}}{e^{2t} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Bastava você ter expandido e simplificado. É falta de hábito mesmo, não é tão difícil.
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Re: [CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor inkz » Ter Nov 20, 2012 02:13

de fato!!
vou terminar um exercício que estou fazendo aqui e refazer todos estes que postei aqui, em todas suas minúcias.

muito obrigado pela ajuda!! :y:
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Re: [CURVAS] ângulo entre vetor tangente e vetor posição

Mensagempor LuannLuna » Qui Nov 29, 2012 15:05

Putz!... vlwzão!..
tava qbrando a cabeça nessa poha! aksdpoakpo =P
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}