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integral pelo método de fraçoes parciais

integral pelo método de fraçoes parciais

Mensagempor Crist » Seg Nov 12, 2012 22:05

não consigo começar essa integral, já tentei fazer a divisão , mas estou com dúvida quanto ao resultado, vejam

\int_{1}^{2}x^2 / (2x + 1 ) ( x + 2 )2   dx\approx 0,045
Crist
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Re: integral pelo método de fraçoes parciais

Mensagempor young_jedi » Ter Nov 13, 2012 12:18

primerio voce tem que separar ele em frações

\frac{x^2}{(2x+1)(x+2)}=\frac{ax+b}{2x+1}+\frac{cx}{x+2}

\frac{x^2}{(2x+1)(x+2)}=\frac{ax^2+bx+2ax+2b+2cx^2+cx}{(2x+1)(x+2)}

\frac{x^2}{(2x+1)(x+2)}=\frac{(a+2c)x^2+(b+2a+c)x+2b}{(2x+1)(x+2)}

portanto b=0

a+2c=1
2a+c=0

c=\frac{2}{3}

a=-\frac{1}{3}

então

\frac{x^2}{(2x+1)(x+2)}=\frac{-\frac{1}{3}x}{2x+1}+\frac{\frac{2}{3}x}{x+2}

-\frac{1}{3}\frac{x}{2x+1}+\frac{2}{3}\frac{x}{x+2}=

-\frac{1}{6}\frac{2x+1-1}{2x+1}+\frac{2}{3}\frac{x+2-2}{x+2}=

-\frac{1}{6}\left(\frac{2x+1}{2x+1}-\frac{1}{2x+1}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2}\right)=

-\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2x+1}\right)+\frac{2}{3}\left(1-\frac{2}{x+2}\right)

substitua na integral e calcule
young_jedi
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}