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Equação da Reta Tangente

Equação da Reta Tangente

Mensagempor Saturnino Nataniel » Ter Nov 06, 2012 21:42

Olá pessoal, tenho dúvida na seguinte questão:
Sabendo que 2y+4x-6=0 é a equação de uma das retas que é a tangente a curva y= 2x^3-x^2+cx+d, determine a derivada desta função em um dos pontos da curva.

Como é que eu acho o ponto comum?
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Re: Equação da Reta Tangente

Mensagempor e8group » Qua Nov 14, 2012 10:27

Basta lembra que a equação da reta tangente a uma curva no ponto a será ,

y -  f(a) = f'(a) (x-a)  .

Tomando a primeira derivada a curva y= 2x^3-x^2+cx+d , vamos obter , y' =   6x^2 - 2x + c .

Daí , a equação da reta tangente será , y - y(x= a ) =    y'(x = a )  ( x - a ) . Perceba que , y' é a taxa de variação da reta tangente a curva y . Pelo enunciado sabemos que 2y+4x-6=0  \implies  y =  - 2x + 3 é uma das retas tangentes a curva , isso significa que para um y' (a) temos que y  =  y'(a) x   + a\cdot y'(a) +  y(a)   =   - 2x + 3      \iff     \begin{cases}    y'(a) =  - 2  \\   a\cdot y'(a) +  y(a) = 3  \end{cases}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}